Курсовая работа: Вивчення систем, еквівалентних системам з відомим типом крапок спокою
, якщо з
0;
x=0, y=at+c, якщо з=0, де постійні з, з
, зі
зв'язані співвідношенням з
(b+c
+c
) =a
, має два центри в крапках
і
.
Рішення:
Підставимо загальне рішення
у нашу систему (1) одержимо
=
=c (c
cosct-c
sinct) =
a-
Для стислості розпишемо знаменник і перетворимо
x +y
+b=
=a+c (c sinct+c
cosct)
a-
Одержуємо, що x і y є загальним рішенням системи.
3. Знаходження першого інтеграла диференціальної системи й умови його існування
Розглянемо систему = f (t, x), x= (x
,…,x
), (t,x)
(1) с безперервної в області D функцією f. Функція U (t, x), задана в деякої під області G області D, називається першим інтегралом системи (1) в області G, якщо для будь-якого рішення x (t), t
, системи (1), графік якого розташований в G функція U (t, x (t)), t
, постійна, тобто U (t, x (t)) залежить тільки від вибору рішення x (t) і не залежить від t.
Нехай V (t, x), V: G R , є деяка функція. Похідній від функції V у силу системи (1) назвемо функцію V
V
R, обумовлену рівністю
V (t, x (t))
t
.
Лема 1.
Для будь-якого рішення x (t), t, системи (1), графік якого розташований в G, має місце тотожність
V t
.
Без доказу.