Курсовая работа: Жизнь и деятельность семьи Бернулли

1. Запишем Уравнение Эйлера:

φ – потенциал. Для силы тяжести φ= gz

2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):

dW = VdP + TdS

Пусть S = const и w – энтальпия единицы массы, тогда:

или

3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:

– проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.

4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:

Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:

– условие стационарности

– так как

Получаем:

То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение:

Лемниската Бернулли

Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c , расположены они на оси OX , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

· в прямоугольных координатах:

· в полярных координатах

·

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе: