Курсовая работа: Жизнь и деятельность семьи Бернулли
Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.
Свойства.
1. Лемниската – кривая четвёртого порядка.
2. Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F 1 F 2 , и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае – ось OY .
3. Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
4. Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
5.
6. Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
7. Касательные в двойной точке составляют с отрезком F 1 F 2 углы
.
8. Лемнискату описывает окружность радиуса
, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.
9. Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
10. Для представления в полярных координатах, верно следующее
a. Площадь полярного сектора 
, при 
: 
b.В частности, площадь каждой петли 
.
c. Радиус кривизны лемнискаты есть
Построение лемнискаты
· с помощью трёх отрезков
Это один из наиболее простых и быстрых способов, однако требует наличия дополнительных приспособлений.
На плоскости выбираются две точки – A и B – будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба – C и D ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: AC = BD = 
, CD = AB . Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.
· при помощи секущих (способ Маклорена)
Строится окружность радиуса 
с центром в одном из фокусов. Из середины O фокусного отрезка строится произвольная секущая OPS (P и S – точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки OM 1 и OM 2 , равные хорде PS . Точки M 1 , M 2 лежат на разных петлях лемнискаты.
Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли (названо в честь Иоганна) утверждает: если
, то
Доказательство проводится методом математической индукции по n . При n = 0 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n , докажем его верность для n+1 :
, ч.т.д.
Примечания:
· Неравенство справедливо также для вещественных 
(при)