Лабораторная работа: Математические модели окружающей среды

Задано временное изменение уровня воды в некоторых пунктах за период примерно в 170 лет.

Применить методы математической статистики для оценки характеристик и качества имеющихся данных наблюдений. Выполнить прогноз подъема уровня воды на будущее и проверить качество прогноза на уже имеющихся данных.

1. Рассчитать моменты ряда (среднее и среднеквадратичное значение), построить функцию распределения и плотность функции распределения. Выполнить ее аппроксимацию теоретическими зависимостями.

Рис. 1.1. Изменение уровня воды за период в 102 года

Минимальный уровень воды = 0.06328, максимальное значение уровня = 0.6792

Заменим простой статистический ряд на статистический ряд с меньшим числом слагаемых, равным 100. И для такого ряда рассчитаем частоту события (в качестве события берем средний уровень воды).

Таким образом, имеем 100 интервалов, для каждого вычисляется частота события (число событий в статистическом ряде, когда X = x, к общему числу событий)

.

В нашем случае имеем N=1024 события, а m – число уровней, попавших i-ый интервал Очевидны свойства этой частоты

Частоту различных уровней воды можно изобразить графически

Рис. 1.2. График зависимости частоты от среднего уровня воды

Статистическая функция распределения есть «частота» события Х < x в данном статистическом интервале

.

Рис. 1.3. Функция распределения

Эта функция F*(x) является неубывающей со следующими пределами:

F^* (x® –¥) = 0, F^* (x® + ¥) = 1.

С функцией распределения F(x) связана плотность функции распределения f(x)

.

которая удовлетворяет следующим соотношениям:

f(x) ³ 0, òf(x) dx = 1,

Рис. 1.4. Плотность функции распределения

Была выполнена аппроксимация плотности функции распределения теоретическими зависимостями: полиномами 6-ой, 9-ой, 15-ой степени, тригонометрическими многочленами. Оптимальным приближением оказался полином 9-ой степени.

В качества критерия оптимальной аппроксимации использовали критерий Пирсона

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--