Научная работа: Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков

Рассмотрим систему уравнений (3)

При n = 2 равенствозначений a ⁰ = b ⁰ = c ⁰ сохраняется при любых соотношениях a , b , c . Поиск хотя бы одного решения уравнения a ² + b ² = c ² входит в условие доказательства теоремы Ферма.

Известно, что все решения в целых числах уравнения a² + b² = c² найдены и имеют следующий вид:

a = p² – q²

b = 2pq

c = p² + q²

где p и q – целые числа.

Для нашего доказательства достаточно одного решения. Например - (3,4,5).

Отсюда делаем вывод, если существует решение уравнения a ² + b ² = c ² где { a ’, b ’, c ’} ⊂ Z то уравнениеaⁿ + bⁿ = cⁿ при n ≠ 2 (где n – любое натуральное число) не будет иметь решение при любых { a , b , c } ⊂ Z в силу неразрешимости системы уравнений (2).

Так как уравнениеaⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет решений в ненулевых целых числах а’ , b ’, c ’ ({ a ’, b ’, c ’} ⊂ Z ) при n ≠ 2 ,где n – любое натуральное число (n ⊂ N ) , значит, оно не имеет решения и в случае, когда n >2 .

Доказательство Великой теоремы Ферма логически построено на доказательстве отсутствия необходимого условия решения в целых ненулевых числах уравнения a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ при натуральном n > 2 и геометрически может быть сформулировано таким образом: невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем в силу того, что необходимым условием такого разложения является возможность прямоугольного треугольника быть равносторонним (в равностороннем треугольнике все углы равны 60°).

Вышеуказанные рассуждения просты, наглядны, они не основаны на поиске конкретных решений уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ , а основаны на поиске доказательства, исключающего решение уравненияaⁿ + bⁿ = cⁿ в целых числах.

Метод бесконечных (неопределенных) спусков был изобретен самим П.Ферма и, очевидно, что он им пользовался для умозаключения о невозможности разложения куба на два куба, биквадрата на два биквадрата Становится совершенно очевидным факт того, что сам П. Ферма имел «чудесное» доказательство своего великого открытия.

§2. Небольшое пояснение ко второй сноске (стр. 3).

В силу закона дистрибутивности уравнение a ² + b ² = c ² можно преобразовать к виду к виду:

К · a ² + К · b ² = К · c ²

где К – любое рациональное число

Возьмем уравнение

1² + 1² = c ²

преобразуем его в вид

К1² + К1² = К c ²

2 · К = К · c ² или К · 2 = К · c ²

Мы получили частное решение уравнения

если К = 2 тоc ² = К ,

Уравнение c ² = К имеет решение тогда, когда есть такое рациональное число к которое образует число К по формуле:

к² = К

отсюда следует, что если есть такое рациональное число,которое может быть образовано от числа к с помощью умножение на само себя и будет равно двум

(К = 2 ),то будет и решение уравнения равное этому числу (c = k ) в рациональных числах.

Мы получили частное решение уравнения 1² + 1² = k ² которое, благодаря методу бесконечных (неопределенных) спусков будет источником для образования бесконечного количества решений уравнения: