Реферат: Билеты по аналитической геометрии

Определение: связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки.

Условия для плоскостей:

1. n₁ параллелен n₂ - параллельности.

2. A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 – перпендикулярности.

3. пересечения трех плоскостей в одной точке:

Пусть заданы три плоскости: система: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0; A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0

Данная система должна иметь единственное решение, а поэтому ее определитель составленный из коэфф. при каждом не равен 0.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а₁, а₂, а₃,…,а_л (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство ₁а₁+₂а₂+…+_ла_л=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа ₁, ₂,…, _л=0 и R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном _i0 (i=1,…,k)

Свойства

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.