Реферат: Билеты по аналитической геометрии

Пусть I₃<0

-(-а₁₁’’)x’’²+a₂₂’’ y’’²= -I₃/I₂

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I₃=0

а₁₁’’x’’²-(-a₂₂’’)y’’²=0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²

Определение: ненулевой вектор (, ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(, ) – вектор асимптотического направления.

a₁₁²+2a₁₂+a₂₂²=0 (*)

Рассмотрим (’, ’) параллельный (, ): следовательно . Дробь / характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что 0 и поделим на ², получим: a₁₁(/)²+2a₁₂/+a₂₂=0 из этого квадратного уравнения найдем /.

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I₂0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I₂>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

(, )₁=(a,b)

(, )₂=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y²=2px

y²-2px=0

u(x,y)= y²+0, y=0

(, )=(0,0)