Реферат: Билеты по аналитической геометрии

a₁₁x’²+2a₁₂x’y’+a₂₂y’²+a’₃₃=0 (2)

точка О’ находится из условия: a₁₃’=0 и a₂₃’=0.

Получается система a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃=0 и a₁₂x₀+a₂₂y₀+a₂₃=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x₀ и y₀ отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I₂0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а₁₂=0. a₁₂’= -0,5(a₁₁-a₂₂)sin2u+a₁₂cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a₁₁’x’²+a₂₂’y’²+2a₁₃’x’+2a₂₃’y’+a₃₃’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I₂>0 и пусть I₁>0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I₃<0 – эллипс; 2. i₃=0 – точка; 3. I₃>0 – СѓСЂ-Рµ (1) РЅРµ определяет. Если I₃=0 РіРѕРІРѕСЂСЏС‚, что эллипс вырождается РІ точку. Если I₃>0 РіРѕРІРѕСЂСЏС‚, что задается мнимый эллипс. Пусть после РџРџ Рё поворота СѓСЂ-Рµ (1) принимает РІРёРґ (*).

Доказательство:

1. пусть I₂>0, I₁>0, I₃<0, тогда

а₁₁’’x’’²+a₂₂’’ y’’²= -I₃/I₂

I₂=a₁₁’’a₂₂’’ > 0

I₁= a₁₁’’+a₂₂’’ > 0

a₁₁’’ > 0; a₂₂’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I₃>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I₃=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I₂<0, I₃0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I₃=0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I₂<0; I₂= a₁₁’’a₂₂’’ < 0. Пусть a₁₁’’>0; a₂₂’’<0

Пусть I₃>0