Реферат: Билеты по аналитической геометрии

7. Система: x=et+x₁ и y=mt+y₁

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М₁(x₁;y₁), тогда отклонение точки М₁ = x₁cos+y₁sin-P=0

Задача: найти расстояние от точки М₀(x₀;y₀) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x₀cos+y₀sin-P|. d=|Ах₀+By₀+C|/sqrt(A²+B²)

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F₁F₂|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r₁, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r₂-r₁|=2a; a

,

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)