Реферат: Быстрое преобразование Фурье

Предположим, что исходный сигнал состоял из суммы гармоник. f_s (t) = A_s cos(2πtm_s / T + φ_s ). Пусть мы этот сигнал подвергли дискретизации, выполнили над ним прямое и обратное преобразование Фурье. Представили в виде суммы гармоник G_k (t) = A_k cos(2πtk / T + φ_k ), как это описано в предыдущей главе. Спрашивается, эти гармоники G_k - те же самые, что и исходные гармоники f_s или нет? Оказывается, нет, не те. Но кое-какую информацию об исходных гармониках все же можно попытаться восстановить.

Эта задача имеет практический интерес. Пусть нам дан некий сигнал, который физически получился как сумма гармонических колебаний (или близких к ним). Простейший пример: кто-то сыграл аккорд, аккорд записан как звуковое колебание в виде mp3 или wav-файла; и надо восстановить, из каких нот аккорд состоял. Или другой случай. Во время испытаний самолета возик флаттер (разрушительные нарастающие колебания), самолет разбился, но самописцы в черном ящике записали изменение перегрузки (суммарное механическое колебание). Надо посмотреть, из каких гармоник состояло это колебание. Каждой гармонике соответствует некоторая часть конструкции. В результате можно понять, какие части самолета колебались сильнее всего и вызвали флаттер.

Вернемся к предыдущей ситуации.

Дана функция f(t) на отрезке [0, T].

Выполнена ее дискретизация, для чего отрезок разбит на N равных частей в точках t_n = Tn/N и вычислены значения функции в этих точках: {x} : x_n = f(t_n ) = f(Tn/N).

Пусть выполнено прямое дискретное преобразование Фурье (далее - ДПФ) {X} : X_k = NA_k e ^jφ _k , и функция разложена на сумму из N гармоник:

G_k (t) = A_k cos(2πtk / T + φ_k )

Теперь предположим, что наша исходная функция сама представляла собой такую гармонику:

f(t) = A cos(2πtm / T + φ).

Получится ли в результате ее преобразования последовательность {X}, в которой все элементы равны нулю, кроме элемента X_m = NA_m e ^jφ _m , который дает как раз эту гармонику?

G_m (t) = A_m cos(2πtm / T + φ_m ) = f(t), A_m = A, φ_m = φ

Как уже говорилось, нет, нас ждет разочарование. Вместо этой одной гармоники мы получим две:

G_m (t) = (A/2) cos(2πtm / T + φ) = f(t) / 2 = f'(t)

и

G_N-m (t) = (A/2) cos(2πt(N - m) / T - φ) = f''(t)

Как видите у них половинные амплитуды, противоположные фазы, а частоты зеркально симметрично расположены на отрезке [0, N]. Это - тот самый зеркальный эффект.

Неоднозначность представления суммой гармоник.

Преобразуем сумму этих гармоник по формуле суммы косинусов:

Итого:

f'(t) + f''(t) = A cos(πtN / T) cos(2πtm / T - πtN / T + φ) (30)

А нам требовалось:

f(t) = A cos(2πtm / T + φ) (31)

Однако, формулы (30) и (31) дают один и тот же результат в точках t_n = Tn / N. В самом деле, подставим Tn / N вместо t сначала в (30):

f'(t) + f''(t) =
= A cos(πTnN / TN) cos(2πTnm / TN - πTnN / TN + φ) =
= A cos(πn) cos(2πnm / N - πn + φ) = ...

Второй множитель разложим по формуле косинуса разности, отделив πn:

... = A cos(πn) [cos(2πnm / N + φ) cos(πn) +
+ sin(2πnm / N + φ) sin(πn)] = ...

Учитывая, что для целого n выполняется sin(πn) = 0 и cos² (πn) = 1, получаем:

... = A cos(πn) [cos(2πnm / N + φ) cos(πn)] =
= A cos² (πn) cos(2πnm / N + φ) = A cos(2πnm / N + φ) (32)

Теперь подставим Tn / N вместо t в (31):