Реферат: Численный расчет дифференциальных уравнений

технологічних процесів і приладобудування

КУРСОВА РОБОТА

з курсу “Математичне моделювання на ЕОМ”

на тему “Розв’язок диференціального рівняння

виду а_п у^(п) +а_п-1 у^(п-1) +…+а₁ у¹ +а₀ у=кх при заданих

початкових умовах з автоматичним вибором кроку

методом Ейлера”

Виконала студентка групи БА-4-97

Богданова Ольга Олександрівна

Холоденко Вероніка Миколаївна

Перевірила Заргун Валентина Василівна

1998

Блок-схема алгоритма

Блок-схема алгоритма

начало

у ^/ =f(x,y)

y(x₀ )=y₀

x₀ , x₀ +a

h, h/2

k:=0

x_k+1/2 :=x_k +h/2

y_k+1/2 :=y_k +f(x_k, y_k )h/2

α_k :=f(x_k+1/2, y_k+1/2 )

x_k+1 :=x_k +h

y_k+1 :=y_k +α_k h

_нет k:=n

_да

x₀ , y₀ ,

x1 , y1…

x_n , y_n

конец

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Решить дифференциальное уравнение у^/ =f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀ , х₁ …, х_n и числа у₀ , не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁ , у₂ ,…, у_n , что у_i =F(x_i )(i=1,2,…, n) и F(x₀ )=y₀ .

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k -x_{k -1} называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y^/ =f(x,y) (1)

с начальным условием

x=x₀ , y(x₀ )=y₀ (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀ , х₁ , х₂ ,…, х_n , где x_i =x₀ +ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i )»y_i вычисляются последовательно по формулам у_i +hf(x_i , y_i ) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀ (х₀ , у₀ ), заменяется ломаной М₀ М₁ М₂ … с вершинами М_i (x_i , y_i ) (i=0,1,2,…); каждое звено М_i M_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку М_i .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--