Реферат: Численный расчет дифференциальных уравнений

|f(x, y₁ )- f(x, y₂ )| £ N|y₁ -y₂ | (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(x_n )-y_n | £ hM/2N[(1+hN)ⁿ -1], (3)

где у(х_n )-значение точного решения уравнения(1) при х=х_n , а у_n - приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет : сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагомh/2. Погрешность более точного значения у_n ^* оценивается формулой

|y_n -y(x_n )|»|y_n ^* -y_n |.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера более точен.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y^/ =f(x,y)

с начальным условием y(x₀ )=y₀ . Разобьем наш участок интегрирования на n

равных частей.На малом участке [x₀ ,x₀ +h]

_у интегральную кривую заменим прямой

N_k ^/ _y=y(x) линией. Получаем точку М_к (х_к ,у_к ).

М_к М_к ^/

y_k+1

y_k

х_к х_{к1 /2} x_k+h= x_k1 х

Через М_к проводим касательную: у=у_к =f(x_k ,y_k )(x-x_k ).

Делим отрезок (х_к ,х_к1 ) пополам:

x_Nk ^/ =x_k +h/2=x_k+1/2

y_Nk ^/ =y_k +f(x_k ,y_k )h/2=y_k +y_k+1/2

Получаем точку N_k ^/ . В этой точке строим следующую касательную:

y(x_k+1/2 )=f(x_k+1/2 , y_k+1/2 )=α_k

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом α_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х_к1 . Получаем точку М_к ^/ . В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к ^/ . Тогда:

у_к+1 =у_к +α_к h

x_k+1 =x_k +h