Реферат: Численный расчет дифференциальных уравнений

y_k =y_k-1 +f(x_k-1 ,y_k-1 )h

(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции у_{к+1 / 2} в точках х_{к+1 /2} , затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y^/ _{k +1 /2} =f(x_k+1/2 , y_k+1/2 ) и определяют у_к+1 .

Для оценки погрешности в точке х_к проводят вычисления у_к с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| у_к ^* -у(х_к )|=1/3(y_k ^* -y_k ),

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y^// =f(y^/ ,y,x) c начальными условиями y^/ (x₀ )=y^/ ₀ , y(x₀ )=y₀ , выполняется замена:

y^/ =z

z^/ =f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия:y(x₀ )=y₀ , z(x₀ )=z₀ , z₀ =y^/ ₀ .

РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

1 . Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

y^/ =2x-y

Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2

Начальные условия: у₀ =1;

Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:

1). x₁ =0,2; х_{1 /2} =0,1; y(x₁ )=y(x₀ )+α₀ h; y(x_1/2 )=y(x₀ )+f(x₀ ,y₀ )h/2;

f(x₀ ,y₀ )=2*0-1=-1

y(x_1/2 )=1-1*0,1=0,9

α₀ =2*0,1-0,9=-0,7

y₁ =1-0,1*0,2=0,86

2). y(x₂ )=y(x₁ )+α₁ h; x₂ =0,2+0,2=0,4; x_1+1/2 =x₁ +h/2=0,2+0,1=0,3

y(x_1+1/2 )=y(x₁ )+f(x₁ ,y(x₁ ))h/2

f(x₁ ,y₁ )=2*0,2-0,86=-0,46

y(x_1+1/2 )=0,86-0,46*0,1=0,814

α₁ =2*0,3-0,814=-0,214

y₂ =0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x₃ =0,4+0,2=0,6; x_2+1/2 =x₂ +h/2=0,4+0,1=0,5

f(x₂ ,y₂ )=2*0,4-0,8172=-0,0172