Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернулл

(Зауважимо, що ). Загальний інтеграл (12.6) має форму

.

Звідси знаходимо загальний розв’язок :

(12.7)

Для отримання розв’язку задачі Коші покладемо в рівності (12.7) та визначимо довільну сталу (у даному

прикладі зручно шукати не , а ) . Маємо , звідки

(12.8)

Підставимо вираз (12.8) у загальний розв’язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв’язок:

. (12.9)

Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1).

Рис.12.1

Приклад 2 . Нехай відомо, що швидкість хімічної реакції, яка перетворює речовину на речовину , пропорційна добуткові концентрації цих речовин.

Потрібно скласти диференціальне рівняння залежності об’єму речовини від часу .

Нехай об’єм речовини , що бере участь в реакції, дорівнює . Тоді загальний об’єм . Приріст у разі переходу речовини в речовину має вигляд: , а швидкість реакції буде . Згідно з умовою

(12.10)

( коефіцієнт пропорційності), оскільки та - концентрації речовин та Враховуючи, що рівняння (12.10) запишемо у вигляді

або

(12.11)

де .

Цікаво відзначити, що рівняння (12.11) збігалося з рівнянням (12.5). Вперше таке рівняння використано у 1845 р. і названо як рівняння Ферхольста - Перла, застосовувалось воно для опису динаміки чисельності популяції в біології. Зауважимо, що такий самий вигляд мають рівняння інших процесів – наприклад, попиту на сезонні масові послуги на підприємствах побутового обслуговування, а також випаровування вологи з пористої речовини тощо.

Розглянемо диференціальне рівняння виду . Виявляється, що це рівняння також описує зовсім різні явища, процеси: при отримуємо закон органічного росту, при - рівняння процесу радіоактивного розпаду, залежності атмосферного тиску від висоти, процесу розряду конденсатора через опір й ін.

12.3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних

Рівняння першого порядку

називається однорідним відносно та , якщо для будь-якого справедлива тотожність

.

Приклад 1. Рівняння є однорідним, бо