Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернулл

.

Приклад 3. З фізики відома залежність між силою стуму та електрорушійною силою в колі, яке має опір та самоіндукцію ( та - сталі):

.

Якщо , то це рівняння повністю збігається з диференціальним рівнянням, розглянутим у прикладі 2, хоч описувані процеси зовсім різні.

Нехай . Тоді відносно маємо диференціальне рівняння, яке зручно записати у вигляді

.

Знайдемо загальний розв’язок цього лінійного рівняння. Нехай , де та - невідомі функції. Тоді Після підстановки в рівняння та маємо:

або .

Невідому функцію знайдемо з рівняння

,звідки . Величина визначається з рівності ,

звідки

,

де довільна стала. Позначимо інтеграл, що фігурує справа, через : . Інтегруючи двічі частинами, отримаємо

,

а функцію визначимо за допомогою рівності

.

Отже, сила струму визначається виразом

.

12.5. Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння виду

, (12.24)

в якому неперервні функції, а число відмінне від

нуля та одиниці, називається рівнянням Бернуллі (при

маємо лінійне рівняння, а при - рівняння з відокремлюваними

змінними).

Покажемо, що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння першого порядку. Для цього поділимо ліву й праву частини рівняння (12.24) на :

та виконаємо заміну змінної . Оскільки

,