Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернулл

або

.

Враховуючи виконані заміни змінних, маємо:

.

Отже, загальний інтеграл вихідного рівняння

або, після спрощень,

.

12.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійними диференціальними рівняннями першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:

(12.14)

де - задані неперервні функції від .

Якщо, зокрема, , то рівняння

(12.15)

називається лінійним однорідним (або без правої частини), а рівняння (12.14), в якому - неоднорідним .

Однорідне рівняння (12.15) – це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:

.

Загальний інтеграл рівняння

,

а загальний розв’язок однорідного рівняння (12.15)

(12.16)

Щоб відшукати загальний розв’язок рівняння (12.14), використаємо так званий метод варіації довільної сталої Лагранжа. Суть його полягає в тому, що розв’язок рівняння (12.14) шукатимемо у вигляді, аналогічному (12.16), але вважатимемо у цій формулі не сталою, а невідомою функцією від :

(12.17)

Підставимо (12.17) у рівняння (12.14):

,

або

З останнього рівняння знаходимо :

, (12.18)

де - довільна стала. Отже враховуючи (12.18), загальний розв’язок (12.17) рівняння (12.14) набуває вигляду