Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернулл

.

(довільну сталу позначили як ) . Звідси .

Повернемось до старих змінних та й спростимо вираз. Отримаємо шуканий загальний інтеграл

або .

Зауваження. До однорідних рівнянь зводяться диференціальні рівняння вигляду

(12.12)

1. У разі, коли , слід виконати заміну змінних , де і - сталі, підібрані таким чином, щоб рівняння (12.12) перетворилося на однорідне рівняння вигляду

.

Оскільки та ,

сталі і слід підібрати так, щоб виконувались рівняння

Ця система має єдиний розв’язок (згідно з умовою ).

2. Якщо , то , оскільки , та . В цьому разі рівняння (12.12) подамо у вигляді

. (12.13)

Якщо в цьому рівнянні виконати заміну змінної за формулою , то рівняння (12.13) перетвориться у диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Справді, маємо і , отже, .

Перейшовши до нової змінної у рівнянні (12.13), одержимо рівняння

,

у якому змінні легко відокремлюються.

Приклад 4. Розв’язати рівняння

.

Р о з в ‘ я з о к. Це - диференціальне рівняння вигляду (12.13). Перевіримо, чи виконується для нього нерівність . Отже, в цьому рівнянні слід виконати заміну змінних та за формулами . Підставимо нові змінні у вихідне рівняння:

.

Для визначення і отримаємо алгебраїчну систему двох лінійних рівнянь

головний визначник якої дорівнює і, отже, система має єдиний розв’язок: , . Це дозволяє виконати заміну змінних і : ,

в результаті якої отримуємо однорідне рівняння . Виконаємо в цьому рівнянні заміну змінної за формулою . Маємо .

Відокремлюємо змінні та :

.

Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд