Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернулл

Р о з в ‘ я з о к. а) Згідно з методом варіації довільної сталої спочатку розв’яжемо відповідне рівняння без правої частини:

.

Маємо , звідки або . Варіюючи сталу , .

Підставимо та як функції від у вихідне рівняння:

.

Звідси і, отже, , де - довільна стала.

Таким чином, загальний розв’язок має вигляд

.

б) Цей же самий результат отримаємо, застосувавши до початкового рівняння підстановку :

або .

Знайдемо з рівняння . Відокремимо змінні: , звідки . Запишемо рівняння відносно , звідси . Отже загальний розв’язок ( довільна стала ) збігається як слід було чекати, із розв’язком, знайденим раніше.

Приклад 2. При відстоюванні суспензії має місце повільне осідання твердих частинок під дією сили ваги , якщо опір середовища пропорційний швидкості осідання частинок, що осідають в рідині без початкової швидкості.

Р о з в ’ я з о к. Згідно з законом Ньютона , де маса частинки; швидкість її руху; час; сила дії на частинку. Враховуючи умову задачі, маємо , де вага частинки; сила опору; коефіцієнт пропорційності. Отже, відносно швидкості руху дістаємо рівняння

,

або , причому .

Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Щоб знайти його частинний розв’язок, що задовольняє початковій умові , спочатку відшукаємо загальний розв’язок рівняння. Використаємо метод варіації довільної сталої. Відповідне однорідне рівняння має вигляд

.

Після відокремлювання змінних та інтегрування отримаємо

, звідки .

Щоб знайти загальний розв’язок рівняння з правою частиною, вважаємо, що в останній рівності .

Тоді ,

і відносно одержується, згідно з умовою, таке рівняння:

,або .

Звідси ,

де довільна стала. Інтегруючи, маємо

.

Тоді загальний розв’язок рівняння набуває вигляду

,або .

Поклавши тут і , знайдемо, що .