Реферат: Дифференциальные уравнения I и II порядка

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

.

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает .

Покажем, что . Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x₀ =x(t₀ ), y₀ =y(t₀ ) при t=t₀ равен

.

Уравнение Ф(x,y,c₀ )=0, где c₀ =c(t₀ ), задает интегральную кривую семейства, проходящую через точку M₀ (x₀ , y₀ ). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M₀ (x₀ , y₀ ) равен , гдеуравнение данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c₀ )=0, как неявное задание уравнения интегральной кривой, значение найдем из соотношения , предполагая .

Из получаем и

или

.

Таким образом, для произвольного значения t₀ параметра t выполняется .

Следовательно, из с учетом доказанного соотношения получаем

.

Но так как , ибо , то из последнего вытекает, что в точках огибающей должно выполняться условие .

Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений

.

Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей (исключая точки, где одновременно и ). Окончательно убеждаясь в том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства.

Пример 5. Снова рассмотрим уравнение из примера 2 . Его общее решение имеет вид , т.е. .

Для нахождения огибающей рассмотрим систему

.

Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся, что y=0 действительно является огибающей, так как через каждую ее точку M(x₀ ;0) проходит интегральная кривая со значением параметра c=-x₀ .

Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение . Его общее решение имеет вид (x-c)² +y² =1 получаем . Подставляя и (x-c)² +y² =1 в левую часть уравнения, получим тождество .

Нетрудно видеть, что семейством интегральных кривых являются окружности единичного радиуса с центром в точках (c,0), лежащих на оси Ox.

На рис. 4 изображено семейство этих окружностей.

Из рисунка видно, что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1 и y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и, следовательно, дающих его два особых решения.

Найдем уравнения огибающих аналитически. Из Ф(x,y,c)=(x-c)² +y² -1, получаем следующую систему уравнений

.

Исключая из уравнения параметр c, получаем y² =1. Данное уравнение дает две огибающих y=1 и y=-1.

Пример 7. Дано уравнение .