Реферат: Дифференциальные уравнения I и II порядка
Функция f(x,y) называется однородной степени m, если 
.
Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если 
.
Например, функция 
является однородной второй степени. Действительно,
. Функция 
однородная нулевой степени, так как 
.
Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве 
, имеем 
, где 
может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е. 
.
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/ )=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/ =f(x,y) или 
., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени.
Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.
Подставляя в исходное уравнение 
и 
, получаем уравнение вида 
или 
, являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения.
Пример 1. Рассматривается уравнение
(x2 -y2 )dx+2xydy=0.
Перепишем его в виде 
. Справа стоит функция однородная нулевой степени. Действительно,
. Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем
или 
, т.е. 
.
Разделяя переменные приходим к уравнению
.
Интегрируем левую и правую части этого уравнения:
.
Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u
или 
, где c>0.
Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид 
, где c – произвольная постоянная.
Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения 
или y2 +x2 =cx,
Последнее выражение приводится к виду
.
Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках 
, лежащих на оси x, ?