Два останні означення ірраціонального числа довго не поширювались. Математики найчастіше трималися першого означення і говорили не про ірраціональні числа, а про ірраціональні величини. Тільки найпередовіші математики кінця XVII і початку XVIII ст.—Ньютон , Лейбніц та інші—вважали поняття ірраціонального числа об’єктивним, трактували його по-новому і широко застосовували в математиці.

У другій половині XVIIIст., у зв’язку з дальшим розвитком механіки і математики, об’єктивність поняття ірраціонального числа набуває ширшого визнання. Третє означення ірраціонального числа стає на перше місце і повсюдно проникає в літературу. Водночас дещо розвивається і друге тлумачення поняття ірраціонального числа. Так, Ейлер, Ламберт та інші вчені встановили, що нескінченний періодичний дріб завжди є раціональним числом. Тому ірраціональне число є нескінченним неперіодичним дробом. Однак аж до другої половини XIXст.не було розроблено загальної теорії ірраціональних чисел.

Остаточного розвитку теорія ірраціональних чисел набула тільки в другій половині XIXст.у працях німецьких математиків Дедекінда, Кантора і Вейєрштрасса.

РОЗДІЛ ІІ. “Дійсні числа”

§1. Множина раціональних чисел

Учні 8-го класу часто зустрічали крім раціональних чисел ще й числа іншої природи – до них часто приводить операція добування квадратного кореня (і не тільки вона). Отже, треба більш досконало познайомитися з новими числами. Але для цього доцільно було б систематизувати знання учнів про вже відомі, тобто раціональні, числа.

1.1. Деякі символи математичної мови.

Учням добре відомі натуральні числа:

1, 2, 3, 4, …

Множина всіх натуральних чисел позначається буквою N.

Якщо до натуральних чисел приєднати число 0 і всі цілі від’ємні числа:

-1, -2, -3, -4,…

то одержиться множина цілих чисел. Цю множину позначають буквою Z.

якщо до множини цілих чисел приєднати всі дробові числа:

2/3, 15/8, -33/58,…

то одержиться множина раціональних чисел. Цю множину позначають буквою Q.

Будь-яке ціле число m можна записати у вигляді дробу m/1, тому можна твердити, що

Множина Q раціональних чисел—це множина, яка складається із чисел виду m/n, -m/n (де m,n – натуральні числа) і числа 0 .

Використовуючи введені позначення N,Z,Q бажано ввести наступне:

замість “n –натуральне число “ можна писати nєN(і читатиметься: “елемент n належить множині N”). Математичний символ є називають знаком належності; аналогічно записують mєZ (“m – ціле”), rєQ (“r – раціональне число”).Зрозуміло, що N – частина множини Z, а Z – частина множини Q. Для зображення даної ситуації в математиці також є спеціальне позначення:

NZ, ZQ

Математичний символ називають знаком включення (однієї множини в іншу).

Взагалі, в математиці запис хєХ позначає те, що х—один з елементів множини Х. Запис АВ означає, що множина А є частиною множиниВ. Математики частіше кажуть: А—підмножина множини В.

Потрібно звернути увагу учнів на те, що множини в математиці позначають великими літерами, а елементи множин—маленькими .

А також звернути увагу на те, що знаки належності і включення—різні, відповідно і .

Для того щоб записати, що елемент х не належить множині Х або що множина А не є підмножиною множини В, використовують ті ж символи, але перекреслені: х Х, А В.

Доцільно було б навести кілька прикладів використання введених математичних символів для скорочення запису справедливих математичних тверджень—їх називають також істинними висловленнями.

Приклад1.

А) 5 N, 5Z, 5Q;

Б) -7N, -7Z, -7Q;

B) 3,5 N, 3,5 Z, 3,5Q;

Г) N, Z, Q;

Приклад 2.

2[1,3]; 1[1,3]; 1(1,3).

Приклад 3.

А) NZ, ZN, ZQ, QZ;

Б) (1,3)[1,3], [1,3](1,3),[1,3](0,+∞),[2,5](3,8).