Реферат: Дійсні числа
і х=1,232323…
100х-х=123,232323…-1,232323…,
99х=122
звідки знаходимо х=122/99
Отже, 1,(23)=122/99.
Б) Нехай х=1.5(23)=1,5232323…Спочатку помножимо х на 10, щоб в отриманому добутку період починався після коми: 10х=15,232323… Тепер число 10х помножимо на100—тоді кома перенесеться рівно на один період вправо: 1000х=1523.2323… Маємо
1000х=1523.232323…
- 10х=15,232323…
990х=1508; х=1508/990=754/495.
Відповідь: а) 1,(23)=122/99; б)1,5(23)=754/495.
Тепер узагальнимо все вище сказане:
Множину Q раціональних чисел можна розглядати як множину чисел виду m/n, де m—ціле число,n—натуральне число, або як множину нескінченних періодичних десяткових дробів.
§2. Дві основні задачі, які приводять до розширення множини раціональних чисел.
2.1. Дві основні теореми для розширення множини раціональних чисел.
Вже неодноразово відмічалося, що не всі числа, з якими доводиться зустрічатися в реальному житті, є раціональними. Так, не є раціональним числом довжина гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами 1см і 2см: дійсно, довжина с і довжини катетів пов’язані теоремою Піфагора: с2 =12 +22 , тобто с=см, а -- не раціональне число. Корені рівняння х2 =7 також не раціональні числа—це числа і -. Щож це за числа, що не є раціональними?
Перш за все необхідно відмітити, що в математиці не заведено говорити “нераціональне число”, бо використовують поняття ірраціональне число. Терміни “раціональне число”, “ірраціональне число” походять від латинського слова ratio—“розум” (дослівний переклад:”раціональне число – розумне число”, “ірраціональне число—нерозумне число “; взагалі, так кажуть і в реальному житті: “він вчинив раціонально”—це означає, що він вчинив розумно; “так діяти нераціонально”—це означає, що так діяти нерозумно).
Ці висновки, які були зроблені інтуїтивно, з часом були науково підтверджені. Були виділені, як основні, дві задачі, які учнями вивчаються у вигляді теорем.
Теорема. Не існує такого раціонального дробу p/q (де p і q —натуральні числа), квадрат якого був би рівний 2.
Доведення. (методом від супротивного). Нехай існує такий дріб p/q, що (p/q)2 =2. Будемо вважати, що дріб p/q нескоротний, тобто p і q немають спільних множників. Так як p2 =2q2 , то звідси видно, що р- парне число : р=2r (де r-ціле число ) і тому q-непарне. Підставляючи замість р його вираз, знайдемо q2 =2r2 . Звідси видно, що q-парне число. Отримане протиріччя і доводить теорему.
Теорема . Сторона квадрата несумірна з його діагоналлю.
Доведення. Справді. Нехай сторона квадрата дорівнює 1. Припустимо, що довжина діагоналі такого квадрата визначається раціональним числом виду p/q, де p і q- натуральні числа. Дріб p/q вважатимемо нескоротним. Тоді згідно теореми Піфагора одержимо (p/q)2 =2 або р2 =2q2 . Тоді аналогічно попередньої теореми доводимо, що довжина діагоналі квадрата, сторона якого 1, не виражається раціональним числом.
У цьому випадку кажуть, що діагональ квадрата є несумірною з його стороною.
Числа, які задовольняють умови цих теорем називають ірраціональними.
Тепер ставиться задача розширити множину раціональних чисел, приєднавши до них числа нового роду—ірраціональні. Ця розширена область утворює множину дійсних чисел. Разом з тим покажемо, що в цій області залишаються справедливими всі властивості раціональних чисел, до яких відносяться арифметичні дії і порівняння чисел з допомогою знаків нерівності.
2.2. Ірраціональне число як нескінченний неперіодичний десятковий дріб.
Розглянемо ірраціональне число . Очевидно, що воно міститься між числами 2 і 3; а якщо точніше, то між числами 2,2 і 2,3; якщо ще більш точніше, то між числами 2,23 і 2,24. Можна продовжити уточнення оцінок числа і визначити межі для третього десяткового знаку після коми. Одержимо 2,2362 =4,999696, що менше 5; 2,2372 =5,004167, що більше 5. Отже, 2,236< <2.237.
Аналогічно можна з’ясувати межі для четвертого знаку після коми, для п’ятого знаку іт.д. Зрозуміло, що наближене значення виконується 2,236. Якщо ж вважати. Що для числа виписані всі наступні десяткові знаки, то: =2,236… Це—нескінченний десятковий дріб. Вище ми розглядали нескінченні десяткові дроби, але вони були періодичні і вони виражали раціональні числа. Тільки що ми з’ясували, що ірраціональним числом називають нескінченний неперіодичний дріб.
Розглянемо один цікавий приклад. Якщо довжину будь-якого кола поділити на його діаметр, то одержиться ірраціональне число 3,141592… Цей факт був встановлений в ІІІст.дон.е.грецьким математиком і філософом Архімедом. Для цього числа в математиці введене спеціальне позначення π.
Будь-яка арифметична операція над раціональними числами зводиться в результаті до раціонального числа. А про ірраціональні числа нічого такого впевнено сказати неможна. Наприклад: - ірраціональне число , а =5—раціональне число , а якщо=-- ірраціональне число , причому -ірраціональне число. Все це стосується і інших операцій.
Цікаво, а якщо в операції приймають участь одне раціональне і одне ірраціональне числа, яке з них “пересилить”? як з’ясувалося “пересилить” ірраціональне число. Розглянемо приклад: дано раціональне число 3 і ірраціональне ; складемо суму 3+. Нехай це є раціональне число р, тобто 3+=р. Тоді =р-3, а р-3 є раціональним числом. Отримали, що - раціональне число, а це не вірно. Одержали протиріччя, отже, зроблене нами припущення неправильне, тобто 3+ -ірраціональне число. Аналогічно можна показати, щоі різниця є число ірраціональне. Якщо ці числа додати, то (3+)+(3-)=6—раціональне число.