Реферат: Дійсні числа

Геометрична модель множини дійсних чисел, тобто числова пряма, робить операцію порівняння чисел особливо наочною; з двох чисел а і b більше те, яке розміщене на числовій прямій правіше.

Приклад 1 . Порівняйте числа:

а) і 4; б) 2+ і 5; в) –3,7 і ; г) - і -.

Розв'язування.

а) Маємо ; отже>4.

б) Маємо 2+= 2+2,236…=4,236…<5; тому 2+<5.

в) –3,7—від’ємне число, - додатнє. Будь-яке додатнє число більше за будь-яке від’ємне, тому –3,7<;

г) - -2,23; --2,64. Точка –2,64 розміщена на числовій прямій лівіше точки –2,36, тому ->-.

Приклад 2. Розмістити в порядку зростання числа:

, -, -2, , , .

Розв'язування.

Скористаємось тим, що . Тоді дані числа будуть розміщені таким чином: .

§4.Модуль дійсного числа.

4.1. Модуль дійсного числа і його властивості.

В молодших класах учні вже зустрічались з поняттям модуля (або абсолютної величини) числа, користувалися позначенням │а│. Вони знають, що, наприклад │5│=5, │-3│=3. Правда, раніше мова йшла лише про раціональні числа. Тепер потрібно ввести поняття модуля для будь-якого дійсного числа.

Означення. Модулем невід’ємного дійсного числа називають саме це число: │х│=х; модулем від’ємного дійсного числа х називають протилежне число: │х│=-х.

Скорочено це записують так:

(1).

Наприклад: │5│=5; │-5│=-(-5)=5; │-3,7│=-(-3,7)=3,7; │-2│=-2 (бо -2>0); │-3│=-(-3)=3- (бо -3<0).

На практиці використовують різні властивості модулів, наприклад:

1. │а│≥0;

2. │ab│=│a││b│;

3.;

4.│a│² =a² ;

5. │a│=│-a│.

4.2. Геометричний зміст модуля дійсного числа.

?????? ?????????? ??????? R ??????? ????? ? ?? ??????????? ?????? ???????? ?????. ????????? ?? ?????? ??? ????? ? ? b (?,b ?????? ?????), ????????? ????? ρ(?,b) ???????? ??? ??????? ? ? b. ?? ???????? ???????? b-?, ???? b>a, ???? a>b, ???? ???????? ?-b, ? ???? ?=b ?? ???????? ????? ??????.

Всі три випадки виражаються формулою:

ρ(а,b)= │a-b│.

Приклад 1. розв'язати рівняння:

а) │х-2│=3; б) │х+3,2│=2; в)│х│=2,7; г)│х-│=0;

Розв'язування.

А) Переведемо аналітичну модель │х-2│=3 на геометричну мову: нам потрібно знайти на числовій прямій такі точки х, які задовільняють умову ρ(х,2)=3, тобто віддалені від точки 2 на відстань, яка рівна 3. Це точки –1 і 5. Звідси рівняння має два корені: -1 та 5.

Б). Рівняння │х+3,2│=2 перепишемо у вигляді │х-(-3,2)│=2 і далі ρ(х,-3,2)=2. На числовій прямій є дві точки які віддалені від точки –3,2 на відстань рівну 2. Це точки –5,2 і –1,2. Отже рівняння має два корені: -5,2 і –1,2.