Реферат: Дійсні числа
Г). Для рівняння │х-│=0 можна не використовувати геометричну ілюстрацію, бо якщо │а│=0, то а=0. Тому х-=0, тобто х=.
Приклад 2 . Розв'язати рівняння:
а) │2х-6│=8; б) │5-3х│=6; в) │4х+1│=-2.
Розв'язування.
а) Маємо │2х-6│=│2(х-3)│=│2││х-3│=2│х-3│=8, отже дане рівняння можна спростити │х-3│=4.
Переведемо його на геометричну модель: нам потрібно знайти такі точки х на числовій прямій, які задовільняють умову ρ(х,3)=4, тобто віддалені від точки 3 на відстань рівну 4. Це точки –1 і 7. Отже рівняння має два корені –1 і 7.
б) Маємо│5-3х│=│(-3)(х-)│=│-3││х-│=3│х-│. Це рівняння можна перетворити 3│х-│=6 звідки │х-│=2, аналогічно попереднього рівняння маємо ρ(х, )=2. В результаті одержимо точки - і , тому рівняння має два розв'язки - і .
В) Для рівняння│4х+1│=-2 ніяких перетворень робити не треба. Воно не має коренів, тому, що у лівій його частині є невід’ємний вираз, а в правій від’ємне число.
4.3. Функція y= │х│.
??? ????-????? ???????? ????? ? ????? ????????? │?│, ????? ????? ???????? ??? ??????? y=│?│. ??????????????? ??????????????? (1) ????? ????????:
Побудову графіка будемо здійснювати “частинами”. Спочатку будуємо пряму у=х і виділимо її частину на промені [0,+∞) (мал.1). потім будуємо пряму у=-х і виділимо частину на (-∞,0) (мал.2). тепер обидві частини зобразимо в одній системі координат –це і є графік функції y=│х│ (мал.3).
Приклад 3. Побудувати графік функції у=│х+2│.
Розв'язування.
Графік цієї функції отримується з графіка функції y=│х│ зміщенням останнього на дві одиниці масштабу вліво (мал.4).
4.4. Тотожність = │а│.
Ми знаємо, що якщо а≥0, то =а. А якщо а≤0? Написати =а не можна, бо а<0 і буде<0, а це неправильно бо значення квадратного кореня невід’ємне. З’ясуємо чому рівний вираз при а<0.
За означенням квадратного кореня у результаті повинно вийти таке число, яке по-перше додатнє, і по-друге при піднесенні до квадрату повинно дорівнювати підкореневому виразу, тобто а2 . Таким числом буде а, якщо: 1) а>0, 2) (-а)2 =а2 . Отже,
а, якщо х≥0;
=
-а, якщо а≤0.
Структура отримана в правій частині співпадає із співвідношенням (1). Отже, і │а│--одне і теж. Цим ми довели важливу тотожність: = │а│. В ролі аможе бути будь-який числовий або алгебраїчний вираз.
Приклад 4. Спростіть вираз , якщо: а) а-1>0; б)а-2<0.
Розв'язування.
Оскільки =│а-1│, то
А) якщо а-1>0, =а-1;
Б) якщо а-1<0, =-(а-1)=1-а.
Приклад 5. Спростіть вираз , якщо а<0.
Розв'язування.
Маємо , оскільки за умовою а<0, то │а│=-а. Врезультаті маємо:
.
§5. Наближені значення дійсних чисел.
В 7-му і 8-му класах учні часто розв'язували задачі графічним методом. Але в цих рівняння х були корені, які в системі координат зоображались без труднощів. Але так буває не завжди.
?????????? ??? ???????? =2-? ? =4-?. ????? ???????? ??? ?????? ?????? ?=1, ????, ?? ??????? ??????? ?= ? ?=2-? ????????????? ? ????? ????? ?(1,1) (???.1). ? ??????? ??????? ??????? ??????? ????? ????????????? ? ????? ????? ? (???.2), ??? ? ?????????? ????????????.
Користуючись малюнком, можна зробити висновок, що абсциса точки В приблизно рівна 2,5. В таких випадках говорять не про точний, а про приблизний розв'язок рівняння і записують так: х≈2,5.