Реферат: Электростатика

Рассмотрим в дифференциальном виде:

(Рисунки)

Элементы математической теории поля.

Полем называется волна, зависящая от положения в пространстве (является функцией координат). Поле называется стационарным, если оно не меняется с течением времени.

Скалярное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется одним единственным числом (например, температурное поле).

Векторное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется вектором (например, поле скоростей в потоке жидкости).

Градиент.

Скорость изменения некоторой величины во времени можно описать, задавая её производную по времени t. Если же мы хотим узнать скорость изменения некоторой величины в пространстве, то, очевидно, мы должны взять её производную по координатам x, y, z.

(Рисунок)

В трёхмерном случае:

или , где - намбла.

- векторный дифференциальный оператор.

Поверхностью уровня – называется геометрическое место точек, в которых скалярная величина имеет одно и тоже значение.

В двумерном случае поверхность уровня называется линией уровня.

Градиент устанавливает связь между скалярными и векторными характеристиками поля.

Дивергенция. Теорема Гаусса.

(Рисунок)

Рассмотрим поле вектора несжимаемой жидкости. Если поток жидкости в объем V через поверхность S 0, то внутри объёма имеется источник (через который жидкость попадает в объём) или стоки (через которые жидкость исходит из объёма). Преобладание источников над стоками даёт положительный поток жидкости через поверхность. Преобладание стоков – отрицательный.

Характеристикой стоков и источников служит величина, называемая дивергенцией – расхождение вектора скорости.

, где - поток вектора скорости через замкнутую поверхность.

Таким образом, дивергенция представляет собой удельную мощность источника в точке P и является скалярной функцией координат.

(Рисунки)

Найдём выражение для декартовой системы координат, для чего рассмотрим поток через элементарный кубик.

(Рисунок)

Поток из кубика наружу будет равен: