Реферат: Фильтрация газов(баротермический эффект)

Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены независимых переменных:

(1.4.2)

Здесь x и h — новые независимые переменные. Функции j и y , связывающие новые переменные со старыми, будут подобраны позднее; пока же мы будем считать их дифференцируемыми нужное число раз. Кроме того, будем считать, что система уравнений (1.4.2) может быть однозначно разрешена относительно х и у; это надо понимать следующим образом: если функции j и y и отображают некоторую область G плоскости Оху в область G * плоскости O x h , то при этом каждой точке (x ,h ) области G * соответствует только одна точка области G (иначе говоря, отображение области G на G *, даваемое функциями j и y , является взаимно однозначным). Как известно, для этого достаточно, чтобы якобиан преобразования (т. е. определитель ) нигде в области G не обращался в нуль.

Для того чтобы сделать требуемую замену переменных, выразим частные производные от функции u по х и у через производные от и по x и h :

(1.4.31 )

(1.4.32 )

Это записано на основании правила дифференцирования сложной функции от двух переменных (здесь u зависит от x и h , которые, в свою очередь, зависят от x и у). Для того чтобы выразить , через производные по x и h , учтем формулу (1.4.3₁ ) и применим снова правило дифференцирования сложной функции:

Следовательно,

(1.4.41 )

Аналогично найдем:

(1.4.42 )

(1.4.43 )

Правые части равенств (1.4.3₁ ), (1.4.3₂ ), (1.4.4₁ ), (1.4.4₂ ), (1.4.4₃ ) представляют собой линейные функции относительно частных производных , Подставляя u ' _x , u ' _y , u ' _xx ,... из этих формул в уравнение (1), мы получим снова линейное уравнение второго порядка с неизвестной функцией и и независимыми переменнымиx и h :

(1.4.5)

где

(1.4.5’)

a — функция, линейная относительно и^’ _x , u ^’ _h , u .

Уравнение (1.4.5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты а и с окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное уравнение (1.4.1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем сделать замену переменных

подобрав функции j и y так, чтобы они являлись решениями уравнения:

(1.4.6)

Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.

Теорема. Для того чтобы функция z = f ( x , у) во всех точках области G удовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство

(1.4.7)

было общим интегралом уравнения

(1.4.8)

в той же области G .

Доказательство. Необходимость. Пусть z = f ( x , у)— решение уравнения (1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f ( x , у) — k и докажем, что любая кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (1.4.7).

В любой точке, лежащей на кривой f ( x , у) = k (где k — фиксировано), выполняется следующее равенство:

действительно вдоль данной кривой функция f ( x , у) постоянна, и поэтому ее полный дифференциал равен нулю.