где , , а - весовые коэффициенты.

Отметим, что при малых в качестве можно рассмотреть полином степени 3 или 4, а при больших и/или - полином степени 2.

3.4 Численный эксперимент

Мы опишем здесь постановку и результаты одного из численных экспери-ментов, проведенных в полном соответствии с рассмотренной выше схемой градиентного метода. Эти результаты опубликованы в работе [4].

Обратимся к дифференциальным уравнениям для модели Лотки в п. 3.1 и в численном эксперименте будем действовать по следующей схеме:

1. Фиксируем начальные данные

, , , (21)

и параметры

, , (22)

2. При этих значениях начальных данных и параметров

численным интегрированием задачи Коши (1),(2) находим значения концентрации реактанта в моменты времени , , то есть находим при .

Теперь можно имитировать «измерения» величин по формуле

, , (23)

где - независимые случайные величины, равномерно распределенные меж-ду и . Считаем, что - измерения, полученные в некотором реаль-ном эксперименте.

3. Фиксируем начальное приближение:

(24)

и методом градиентных уравнений находим приближенное значение точки локального минимума .

Об эффективности метода можно судить по затраченному процессорному времени и по величине относительной погрешности:

(25)

Результаты этого численного эксперимента приведены на рисунках 1, 2.

4. О других методах идентификации

Ограничимся здесь ссылкой на электронную статью [5], в которой идентифицируются три неизвестных параметра в пяти кинетических уравнениях, описывающих изменение концентраций в биохимических реакциях с участи-ем различных тромбинов и их комплексов.

В этой работе рассматривается функционал МНК, использующий различные начальные данные, соответствующие измерениям для всех пяти переменных в фиксированные моменты времени , причем все эти измерения взяты из реальных экспериментов.

Для минимизации функционала используется программа VARPRO Стэнфордского университета, а численное интегрирование исходных уравнений (для вычисления функционала) проводится при помощи интегратора SDRIV1 Дэвида Кахане.

Литература

1. В. Вольтерра, «Математическая теория борьбы за существование». Москва. «Наука»,1976.

2. Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер, “Решение обыкновенных дифференциальных уравнений”, I. Нежесткие задачи. Москва. “Мир”,1990.

3. Э. Хайрер, Г. Ваннер, “Решение обыкновенных дифференциальных уравнений”, II. Жесткие и дифференциально - алгебраические задачи. Москва. “Мир”,1999.

4. L.K. Babadzanjanz, J.A. Boyle, D.R. Sarkissian, and J.Zhu, “Parameter Identification for Oscillating Chemical Reactions Modelled by Systems of ODE”, Journal of Computational Methods for Sciences and Engineering, 2002.

5. Bert W. Rust, ACMD, Robert W. Ashton, Chemical Science and Technology Laboratory, “Parameter Identifications”, 7/15/2001: http://math.nist.gov/mcsd/Reports/95/yearly/node28.html