Реферат: Интеграл и его свойства

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’( x) или дифференциала df= f’( x) dx функции f( x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f( x ) требуется найти такую функцию F( x), что F’(х)= f( x) или dF( x)= F’( x) dx= f( x) dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F( x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..

Определение. Функция F( x), , называется первообразной для функции f( x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’( x)= f( x) или dF( x)= f( x) dx.

Теорема. Любая непрерывная на отрезке [ a; b] функция f( x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если F₁ ( x) и F₂ ( x) – две различные первообразные одной и той же функции f( x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F₂ ( x)= F₁ x)+ C, где С – постоянная .

Неопределенный интеграл, его свойства.

Определение. Совокупность F( x)+ C всех первообразных функции f( x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

- (1)

В формуле (1) f( x) dx называется подынтегральным выражением, f( x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

и .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Если F( x) – первообразная функции f( x), то:

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

Таблица неопределенных интегралов.

Приведем основные правила интегрирования функций.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную ( u= x) , так и функцию от независимой переменной ( u= u( x)) .)

1. ( n≠-1).

2. (a >0, a≠1).

3.

4.

5.

6.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--