Реферат: Интеграл и его свойства

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. (a≠0).

15.(a≠0).

16. (|u| > |a|).

17. (|u| < |a|).

18.

19.

Интегралы 1 – 17 называют табличными.

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ( t), откуда dx=φ’( t) dt.

Теорема. Пусть функция x=φ( t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f( x). Тогда если на множестве Х функция f( x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

- (2)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u( x) и v( x) – две дифференцируемые функции переменной х . Тогда:

d(uv)=udv+vdu. – (3)

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

Но так как , то:

- (4)

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям . С помощью этой формулы отыскание интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С , так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида , , ( P_n ( x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u= P_n ( x) и применить формулу (4) n раз.

II. Интегралы вида , , , , (Pn(x) – многочлен степени nотносительно х ). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при P_n ( x).

III. Интегралы вида , (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.

5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

Рациональной дробью R( x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе ( n≥ m) , то дробь называется неправильной . Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( n≤ m) , то дробь называется правильной.