Реферат: Интеграл и его свойства
где t1 и t2 определяются из уравнений a= x( t1 ), b= x( t2 ) [ y( t) ≥ 0 при t1 ≤ t ≤ t2 ].
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:
16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.
Если кривая y= f( x) на отрезке [ a; b] - гладкая (т. е. производная y’= f’( x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:
При параметрическом задании кривой x= x( t), y= y( t) [ x( t) и y( t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2 , вычисляется по формуле:
Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ) , α ≤ θ ≤ β , то длина дуги равна:
Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:
где y=f(x) 
[a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х , а переменную интегрирования буквой t . Длина дуги будет функцией верхнего предела:
Практические задания
1. Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:
1) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
___________________________________________________________________________
2) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
__________________________________________________________________________________
3) 
.
Решение:
Проверка:
- верно.
___________________________________________________________________________