Реферат: Интеграл и его свойства
2. Если f(x)=1, то
Действительно, так как f( x)=1 , то
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
R .
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [ a; b] функций f1 ( x), f2 ( x), …, fn ( x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:
6 (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы 
и 
то существует также интеграл 
и для любых чисел a, b, c;
7. Если f( x) ≥ 0 
[ a; b], то
a < b.
8 (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f( x) и φ( x) удовлетворяют неравенству f( x) ≥ φ( x) [ a; b], то
a > b.
9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f( x), непрерывной на отрезке [ a; b], то
a < b.
10 (теорема о среднем). Если функция f( x) непрерывна на отрезке [ a; b], то существует такая точка 
[ a; b], что
т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [ a; b] и длины b- a этого отрезка.
11. Теорема о среднем.
Если функция f( x) непрерывна на отрезке [ a; b], то существует такая точка [ a; b], что
т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [ a; b] и длины b- a этого отрезка.
12. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b . Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a , а верхний х изменять так, чтобы x є [ a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:
xє [a; b],
называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х . Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t , а верхний предел интегрирования – буквой х .
Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции f( x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:
Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [ a; b] от непрерывной функции f( x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x= b и x= a.
- (9)
13. Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.
Теорема. Если функция f( x) непрерывная на отрезке [ a; b], а функция x=φ( t) непрерывно дифференцируема на отрезке [ t1 ; t2 ], причем φ([ t1 ; t2 ])=[ a; b] и φ( t1 )= a, φ( t2 )= b, то справедлива формула:
- (10)
Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u( x) и v( x) – дифференцируемые на отрезке [ a; b] функции переменной х . Тогда d( uv)= udv+ vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b] :
- (11)
С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница
Следовательно, формула (11) принимает вид:
- (12)
Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
15. Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y= f( x) [ f( x) ≥ 0], прямыми x= a и x= b и отрезками [ a; b] оси Ох , вычисляется по формуле:
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y= f1 ( x) и y= f2 ( x)[ f1 ( x) ≤ f2 ( x)] и прямыми x= a и x= b , находится по формуле:
