Математика / Реферат: Інтегральне числення

Реферат: Інтегральне числення

Додамо почленно ці наближені рiвностi:

Ця формула називається формулою парабол або формулою Сiмпсона. Формули (1), (2), (3), (4) i (8) називаються квадратурними.

Різницю між лівою i правою частиною квадратурної формули називають її залишковим членом i позначають через . Абсолютна похибка квадратурної формули, очевидно, залежить від числа n — кiлькостi частинних вiдрiзкiв, на які розбивається вiдрiзок інтегрування [а;b]. Наведемо формули, які дозволяють, по-перше, оцінювати абсолютні похибки квадратурних формул, якщо задано n,і, по-друге, визначати число n так, щоб обчислити заданий інтеграл з наперед заданою точністю.

Якщо функція f (х) має на вiдрiзку [а; b] неперервну похідну i , то абсолютна похибка наближених рівностей (1) — (4) оцінюється формулою

(9)

Для функцій f(x), які мають другу неперервну похідну і , виконується нерівність

(10)

яка справедлива для формул прямокутників і трапецій.

Абсолютна похибка в наближеній рівності (8) оцінюється формулою

(11)

Якщо функція f(x) має на відрізку [a;b] четверту неперервну похідну і то для формули Сiмпсона справедлива оцінка:

(12)

Приклад:

1. Обчислити інтеграл .

Це інтеграл від біноміального диференціала, який в елементарних функціях не обчислюється. Обчислимо його наближено. Розіб’ємо відрізок [0;1] на 10 рівних частин точками .