Реферат: Исчисление высказываний

Особое внимание следует обратить на скобки. Их можно опускать если это не вносит неоднозначности. Например, вместо (Øр) можно писать Øр, а вместо (pÚq) - pÚq. Однако, невнимательное обращение со скобками может привести к неоднозначности. Например, выражение pÚqÙr можно трактовать либо как ((pÚ)qÙr), либо (pÚ(qÙr)). Для того, чтобы избежать такой неоднозначности, пяти логическим операциям приписывается приоритет, который учитывается при вычислении значения выражения. Операция отрицания Ø - имеет наивысший приоритет, за ней следует Ù, потом следует Ú, Þ и Û в том порядке как они указаны. Поэтому, выражение pÚqÙr должно трактоваться только как (pÚ(qÙr)).

5.1.1. Утверждения на русском языке в форме высказываний.

Не любое предложение на русском языке может быть выражено в виде высказывания. Например, приглашения типа “Войдите”, команды типа “Стой”, “Сидеть”, вопросы типа “Ты был сегодня на лекции Смелянского?” нельзя представить в виде высказываний. Тем не менее, существует значительное множество предложений, называемых утверждениями, которые можно представить в виде либо высказываний, либо предикатов (о последних мы поговорим позднее).

На любом естественном языке, коим является русский язык, одну и ту же мысль можно выразить по-разному. Используя высказывание, мы будем терять многие смысловые оттенки фразы на русском языке, но основная мысль будет сохранена. Это высказывание будет одним и тем же для многих фраз на русском языке.

Например, если обозначить утверждение “Вася доволен” буквой р, то высказыванием Øр можно представить следующее утверждение:

“Вася не доволен”.

“Это не тот случай, когда Вася доволен”.

“Вася будет не доволен”.

“Вася был не доволен”.

Обратите внимание, исчисление высказываний не охватывает временной аспект фразы. Аналогично, нижеприведенные утверждения можно записать в виде высказывания pÙq, придав надлежащие значения переменным p и q :

10 £x£100

Петя племянник Васи.

Вася дядя Петра.

Хотя декабристы обличали рабовладельчество, многие из них имели крепостных.

Первое из этих предложений состоит из двух фраз: ”Число х больше либо равно 10” и “Число х меньше либо равно 100”. Однако, эти фразы “спрятаны” с помощью математических обозначений.

Вторая и третья фразы содержат в неявном виде два утверждения. Первое: У Васи есть или брат, или сестра. Вторая: У этого брата или у этой сестры есть сын Петя.

Слово “хотя” в четвертой фразе играет роль союза “и” и выполняет роль противопоставления.

При использовании логической операции Ú в высказываниях могут возникнуть трудности, связанные с неоднозначностью союза “или” в русском языке. Когда мать говорит сыну: “Я куплю тебе конфету или жвачку”, как правило, она имеет ввиду только одно из двух. Когда преподаватель говорит, что он допустит до экзамена только тех студентов кто сдаст реферат или зачет, то, конечно, он не прогонит студента, который сдаст и зачет и реферат.

Первый случай называется исключающим Ú, второй - включающим. В исчислении высказываний обычно используется включающее Ú.

В высказывании pÞq , р называется причиной, q - следствием, а само высказывание - импликацией или следованием. Примером импликации может служить фраза

“Если ты будешь читать по одной страничке в день, то ты научишься читать”.

Если обозначить слова “ты будешь читать хотя бы по одной страничке в день” как p, а “ты научишься читать”, как q, то эту фразу можно записать как

pÞq

Это же высказывание будет соответствовать и фразе

“Ты научишься читать, если ты будешь читать хотя бы по одной страничке в день”.

Однако, в использовании “если” в русском языке есть тонкости. Например, рассмотрим фразы:

“Я куплю билет, если в этом кинотеатре идет “Анаконда”.

“Я куплю билет, только если в этом кинотеатре идет “Анаконда”.

Если обозначить буквой p слова “Я куплю билет”, а буквой s - “в этом кинотеатре идет “Анаконда”, то первой фразе будет соответствовать выражение