Реферат: Измерение магнитострикции ферромагнетика

так как ( a² ₁ + a² ₂ + a² ₃ )² = 1. Далее, член шестого порядка приводится к виду

a⁶ ₁ + a⁶ ₂ + a⁶ ₃ = 1- 3(a² ₁ a² ₂ + a² ₂ a² ₃ + a² ₁ a² ₃ )+3a² ₁ a² ₂ a² ₃ ( 8)

так как (a² ₁ + a² ₂ + a² ₃ )³ = 1.

Энергия анизотропии на единицу объема кубического крис талла с точностью до членов шестого порядка относительно a_i представляется в виде линейной комбинации

f _a =K₁ (a² ₁ a² ₂ + a² ₂ a² ₃ + a² ₁ a² ₃ )+K₂ a² ₁ a² ₂ a² ₃ (9)

Часто членом K₂ a² ₁ a² ₂ a² ₃ , который обычно меньше первого члена в (9), пренебрегают. Тогда:

f _a =K₁ (a² ₁ a² ₂ + a² ₂ a² ₃ + a² ₁ a² ₃ ) (10)

Знаки константанизотроп ии K₁ и K₂ и их относительная величина определяютто кристаллографи ческое направление, которое в данном кристалле будет “легким”.

Если К ₁ >0, то первый член в (9) минимален при направлении намагниченности вдоль осей [100], [010], [001], которые в этом
случае являются осями легкого намагничивания.
ЕслиК ₁ <0, то осями легкого намагничивания являются оси[111], [I11], [ 1I1], [11I], так как первый член в энергии анизотропии (9) минимален, когда намагниченность расположена вдольэтих осей.

Если учитывать и второй член в (9), то направление диагональной оси [100] в тех случаях, когда К ₁ отрицательна и меньше по абсолютной величине, чем К ₂ , также может быть направлением легкого намагничивания.

В заключение отметим, что в ряде случаев удобнееf _a раскладывать в ряд по сферическим функциямY^m _l ( J , j ) где J - полярный угол, j - азимут вектора намагниченности по отношению к выбранной оси симмет рии. Тогда

f _a = SS c ^m _l U ^m _l ( J , j ) , (11)

где c ^m _l - параметры, аналогичные константам анизотропии . Разложение (11) справедливо длякристаллов любой симметрии (тип симметрии определяют величиныc ^m _l , т. е. какие из этих коэффициентов обращаются в нуль).

2) f _упр. ( e_{i j} ) = ½ [C₁₁ (e² _xx + e² _yy + e² _zz ) ] + ½ [C₄₄ (e² _xy + e² _yz + e² _xz ) ]+

+ C₁₂ (e_xx e_yy + e_yy e_zz + e_xx e_zz ) (12)

3) f _{му .} ( a _i ,e_{i j} ) = B₁ [( a ² ₁ – 1/3)e_xx +( a ² ₂ – 1/3)e_yy +( a ² ₃ – 1/3)e_zz ]+

B₂ [a ₁ a ₂ e_xy + a ₂ a ₃ e_yz + a ₁ a ₃ e_xz ] , (13)

где, a _i – направляющие косинусы вектора спонтанной намагниченности,e_{i j} - компоненты тензора деформации кристалла, В₁ , В₂ – константы магнитоупругой энергии, С₁₁ , С₄₄ , С₁₄ – модули упругости.

Устойчивому равновесному состоянию деформированного кристалла с определенным направлением намагниченности (a_i = const) соответствует минимум свободной энергии. Чтобы определитькомпоненты тензора деформации при отсутствии внешних напряжений, характеризующие спонтанную магнитострикционную деформацию или спонтаннуюмагнитострикцию, следует найти компонентыe⁽⁰⁾ _{i j} , соответствующие минимумуf .

Минимизируя выражения для плотности энергии f относительноe _{i j} , получим

∂f /∂e_xx = B₁ ( a ² ₁ – 1/3)+C₁₁ e⁽⁰⁾ _xx + C₁₂ (e⁽⁰⁾ _yy +e⁽⁰⁾ _zz )=0 ,

∂f /∂e_yy = B₁ ( a ² ₂ – 1/3)+C₁₁ e⁽⁰⁾ _yy + C₁₂ (e⁽⁰⁾ _zz +e⁽⁰⁾ _xx )=0 , (14)

∂f /∂e_zz = B₁ ( a ² ₃ – 1/3)+C₁₁ e⁽⁰⁾ _zz + C₁₂ (e⁽⁰⁾ _xx +e⁽⁰⁾ _yy )=0 ,

∂f /∂e_zy = B₂ a ₁ a ₂ + C₄₄ e⁽⁰⁾ _xy =0,

∂f /∂e_yz = B₂ a ₂ a ₃ + C₄₄ e⁽⁰⁾ _yz =0, (15)

∂f /∂e_xz = B₂ a₁ a₃ + C₄₄ e⁽⁰⁾ _xz =0,

Склады вая три уравнения (14), найдем: (∆V/V)₀ = e⁽⁰⁾ _xx + e⁽⁰⁾ _yy + e⁽⁰⁾ _zz ,

т.е. в этом приближении изменение объема кристалла (∆V/V)₀ при спонтанной магнитострикционной деформации равно нулю. Из (14) и (15) получим компоненты тензора этой деформации

e⁽⁰⁾ _{i i} = - [B₁ /(C₁₁ -C₁₂ ) ] [a² _i – 1/3 ], e⁽⁰⁾ _{i j} = -(B₂ /C₄₄ ) a _i a _j ; i , j = x, y, z.