Реферат: Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторів включення

У вступі обґрунтована актуальність дисертаційного дослідження, визначена мета і об’єкти дослідження. Основна частина дисертації поділена на 4 розділи.

У першому розділі "Огляд літератури і результатів дисертації" робиться огляд літератури і дається короткий виклад результатів дисертаційної роботи.

У другому розділі "Поняття та критерії відкритої мультикомутативності" вводиться означення основного поняття, яке вивчається в дисертації – відкритої мультикомутативності коваріантних функторів.

Теорема 2.4.23 . Нехай -- деякий слабко-нормальний скінченно-відкрито-мультикомутативний функтор в категорії Comp. Тоді відображення є відкритим.

Наступна теорема є основним результатом цього розділу. Вона встановлює впіввідношення між поняттями відкритої мультикомутативності та скінченної відкритої мультикомутативності слабко-нормальних функторів в категорії Comp.

Теорема 2.4.26 . Нехай слабко-нормальний функтор є відкритим та бікомутативним. Тоді наступні твердження є еквівалентні:

(і) є відкрито-мультикомутативним

(іі) є скінченно відкрито-мультикомутативним.

Наслідок 2.4.27. Нехай -- нормальний відкритий функтор в категорії Comp. Тоді наступні твердження є еквівалентними:

(і) є відкрито-мультикомутативним

(іі) є скінченно-відкрито-мультикомутативним.

Наслідок 2.4.28. Нехай -- слабко-нормальний бікомутативний функтор в категорії Comp. Тоді функтор є мультикомутативним.

Природньо постає задача дослідження властивостей функторів, які зберігають відкрито-мультикомутативні конуси над нескінченними графами.

Наступна теорема являє собою критерій -відкритої мультикомутативності слабко-нормальних функторів та показує її еквівалентність з відкритою мультикомутативністю на скінченних діаграмах.

Теорема 2.5.3. Кожний слабко нормальний відкрито мультикомутативний функтор є -відкрито мультикомутативним.

В третьому розділі “Відомі функтори в категорії Comp та відкрита мультикомутативність” досліджуються конкретні приклади коваріантних функторів категорії Comp на відкриту мультикомутативність. Зокрема, розглядаються функтори ймовірнісних мір , гіперпростору , гіперпростору включення , суперрозширення , функтор неперервних зверху ємностей , функтор опуклих підмножин їх композиції , . Відомо, що функтори та є нормальними, а функтори , , та є слабко нормальними, а також, що функтори , , , , є відкритими, а функтори , не є відкритими.

Застосовуючи критерій відкритої мультикомутативності ми легко отримуємо

Твердження 3.2.1. Функтор ймовірнісних мір є відкрито-мультикомутативним.

З нормальності та відкритості функтора ймовірнісних мір в категорії Comp випливає

Наслідок 3.2.2 . Функтор є -відкрито-мультикомутативним.

Покажемо відкриту мультикомутативність функторів , , , , а також їх композицій з функтором ймовірнісних мір та . Для цього спочатку встановимо їх бікомутативність.

Твердження 3.3.1. Функтори та є бікомутативними.

З попереднього твердження легко випливає відкрита мультикомутативність вищезгаданих функторів.

Твердження 3.3.2. Функтори , та є відкрито-мультикомутативними.

Покажемо відкриту мультикомутативність функтора ConvСomp.

Твердження 3.3.4. Функтор є відкрито-мультикомутативним.

Наступний результат дозволяє будувати нові відкрито-мультикомутативні функтори як композиції відкрито-мультикомутативних.

Твердження 3.3.5. Нехай Top -- деякі категорії і функтори та є відкрито-мультикомутативними, тоді композиція функторів є також відкрито-мультикомутативним функтором.

З твердженнь 3.3.5 та 3.2.1 випливає