Реферат: Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторів включення

Твердження 3.3.7. Функтори і є відкрито-мультикомутативними.

Оскільки фунтор є слабко-нормальним і відкритим, то згідно з теоремою 2.4.26 для його відкритої мультикомутативності достатньо показати, що він є скінченно відкрито-мультикомутативний.

Твердження 3.4.2. Функтор є скінченно відкрито-мультикомутативним.

Твердження 3.4.6. Функтор є відкрито-мультикомутативним.

Розглядається кілька відомих методів продовження функтора ймовірнісних мір з категорії компактів на категорію цілком регулярних топологічних просторів та їх неперервних відображень Tych. Одна з найпростіших конструкцій продовження функторів на категорію Tych – є міри на Стоун-Чехівській компактифікації цілком регулярного топологічного простору. Поряд з цим також існує кілька альтернативних методів продовження функтора ймовірнісних мір на Tych, такі як функтор мір з компактнми носіями, функтор мір Радона (радонівські міри), функтор -гладких мір.

Для тихонівського простору розглянемо suppмножину всіх борелевих ймовірнісних мір на з компактними носіями, де є Стоун-Чехівською компактифікацією простору . Ця конструкція дозволяє нам продовжувати функтор з категорії Comp на категорію Tych. А. Відомо, що є нормальним функтором в категорії Tych. Іншою конструкцією пордовження функтора ймовірнісних мір є функтор радонівських мір .

Теорема 4.3.1. Відображення є відкритим.

Оскільки , характеристичне відображення можна представити як . Має місце наступний наслідок попередньої теореми.

Теорема 4.3.2. Відображення є відкритим.

ВИСНОВКИ

В даній роботі вводиться поняття відкритої мультикомутативності коваріантних функторів у категорії компактів та інших топологічних категоріях, яке поєднує в собі поняття відкритості та бікомутативності. Це дозволяє виділити клас функторів, які природньо поєднують в собі ці дві властивості. Формулюються критерії відкритої мультикомутативності. А саме, встановлена еквівалентність відкритої мультикомутативності зі скінченною відкритою мультикомутативністю; ця еквівалентність значно спрощує дослідження. Зокрема, для встановлення відкритої мультикомутативності достатньо перевірити, що слабко-нормальний відкритий, бікомутативний функтор зберігає відкрито-мультикомутативні конуси складені зі скінченних просторів. Також встановлено таку еквівалентність цього поняття на скінченних та нескінченних діаграмах: якщо слабко-нормальний функтор зберігає відкрито-мультикомутативні конуси на скінченними діаграмами, то він зберігає їх і над всіма діаграмами. Цей результат також дозволяє значно спростити аналіз і обмежитись розглядом досить вузького кола діаграм.

В розділі 3 доведено, що такі функтори, як функтор ймовірнісних мір, гіперпростору, суперрозширення, гіперпростору включення, опуклих підмножин, неперервних зверху ємностей, а також їх композиції є відкрито-мультикомутативними. Це в свою чергу доводить непорожність класу відкрито-мультикомутативних функторів в категорії Comp.

Важливим питанням категорної топології є продовження функторів на ширші категорії. Тому також є природним питання поширення означення відкритої мультикомутативності на функтори, які діють в категорії цілком регулярних просторів Tych. В розділі 4 зроблені кроки у цьому напрямку, а сааме, розглянуто питання відкритої бікомутативності продовжень функтора ймовірнісних мір. Доведено, що такі продовження, як функтор мір з компактними носіями і функтор мір Радона, є відкрито-бікомутативними.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kozhan, R. V. Open-multicommutativity of some functors related to the functor of probability measures // Matematychni Studii – 2005. – Vol.23, №4.

2. Кожан, Р.В., Пронеперервнiстьвiдповiдностейймовiрнiснихмiрвкатегорiїцiлкомрегулярнихпросторiв // НауковийвісникЧернівецькогоуніверситету: збірникнауковихпраць. Математика. – 2006. – Т. 314-315. – c.94—99.

3. Kozhan, R.V., Open-multicommutativity of the functor of upper-continuous capacities // Вісник Львів. Ун-ту. Сер. Мех.-матем. – 2006. – V.66.

4. Kozhan, R.V. On сontinuity of correspondences of probability measures in the category of Tychonoff spaces // Міжнароднакоференція "Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications", Львів, 2004, тезидоповідей.

5. Kozhan, R.V. Open-multicommutativity of the functor of probability measures // Четвертаміжнароднаалгебраїчнаконференція, Львів, 2003, тезидоповідей.

6. Kozhan, R.V. Open-multicommutativity of normal functors // Міжнароднийконгресматематиків "International Mediterranean Congress of Mathematics", м. Альмерія, 2005, тезидоповідей.

АНОТАЦІЯ

Кожан Р.В. Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторів включення . – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

Ключові слова: відкрита мультикомутативність, слабко-нормальний функтор, характеристичне відображення конуса, категорія, діаграма

Дисертація присвячена вивченню категорних властивостей нормальних та слабко-нормальних функторів в категорії компакних гаусдорфових просторів та їх неперервних відображень. Зокрема досліджуються умови та критерії відкритості коваріантних функторів. Є. Щепін встановив, що кожний відкритий нормальний функтор є бікомутативним. М. Зарічний посилив цей результат і встановив, що відкритість є критерієм бікомутативності для функторів скінченного степеня.

В даній роботі вводиться поняття відкритої мультикомутативності, яке є узагальненням відкритості та бікомутатвності слабко-нормальних функторів. Встановлюються критерії мультикомутатвності, відкритої мультикомутативності та -відкритої мультикомутативнос-ті функторів, а також їх звєязок між собою. В дисертації автором доводиться відкрита мультикомутативність ряду функторів, серед яких фунтор ймовірнісних мір, гіперпростору, суперрозширення, функтор гіперпросторів включення, неперервних зверху ємностей та їх композицій.

Проблема продовження функторів з категорії компактів на категорію цілком регулярних просторів досліджується в дисертації в контексті відкритої мультикомутативності. Зокрема, розглядаються часткові випадки відкритої мультикомутативності функторів радонівських мір та мір з компактними носіями відповідно. Задача представлена у термінах відповідностей з просторів ймовірнісних мір на добутку тихоновських просторів. Встановлена неперервність відповідностей, що є еквівалентною відкритості характеристичного відображення квадратних діаграм.

ABSTRACT

Kozhan R.V. Categorical properties of spaces of probability measures and inclusion hyperspaces . – Manuscript.