Реферат: Комп ютерна графіка 2

О <д< 1, то точка лежить усередині відрізка (x₁ , y₁ ), (y₂ , x₂ ). Якщо s<0 або s >1, то точ­ка лежить зовні відрізка.

Параметричне рівняння (1.14) застосо­вують у багатьох алгоритмах комп'ютер­ної графіки: в алгоритмі покриття області штриховкою, в алгоритмах визначення видності — рухомого та нерухомого екра­нів тощо.

Нехай область, яку треба покрити штри­ховкою (рис. 1.7), задана масивами коор­динат (x1,y2), (x2,y2) (і = 1, 2, 3, 4). Рівняння ла­нок, що обмежують область, дістанемо у вигляді (1.10) при i = 1, 2, 3, 4. Визначив­ши iнтервал, який пробігає параметр b у рівнянні (1.1) сім'ї ліній штриховки, зада­мо крок зміни b. На кожному кроці треба розв'язати систему чотирьох рівнянь (1.10) і (1.1). У результаті дістанемо координа­ти точок I…IV. Підставимо у формули (1.14) замість х та у знайдені координати х_nj та y_nj . Матимемо

. (1.15)

Якщо х_і+1 -х_і = 0, то слід скористатися другою формулою з (1.15), а якщо у_і+1 -у_і = 0, то ­­­­- першою.

У результаті для точок ІІ і ІІІ дістанемо значення s₂ та s₃ за межами інтервалу

0<s<1, тобто їх не враховують при визна­ченні того відрізка лінії штриховки що на­лежить області.

Полярні параметри прямої . Відстань р початку координат від прямої (1.2) та кут між віссю Ох і відрізком перпендикуляра ОК (рис. 1.8) називають полярними параметрами прямої.

Відстань р визначають за формулою

. (1.16)

Кут t визначають не безпосередньо, а за допомогою функцій синуса та косинуса:

(22.17)

Умова паралельності прямих (1.7) ви­пливає з формул (1.8) при D= 0:

A₁ B₂ -B₁ A₂ (1.18)

Умова перпендикулярності прямих (1.7):

A₁ A₂ +B₁ B₂ =0 (1.19)

Рівняння прямої, яка проходить через точку М(х1, у1) і перпендикулярна до пря­мої (1.2):

А(у –у1)- В(х-х1)=0. (1.20)

Відстань точки М (х1,у1) до прямої (1.2):

(1.21)

Якщо в цю формулу підставити коорди­нати початку 0(0.0), то відстань d матиме знак С, чим і пояснюється знак абсолютної величини. Точки, розміщені по той самий бік від прямої що й початок коорди­нат, дають той самий знак для d. Точки. розміщені по різні боки від прямої, дають протилежні знаки для d. Тому відстань d на­зивають орієнтованою.

Коло

Рівняння кола, центр якого збігається з початком координат, має вигляд

х² +у² =R² . (1.22)

У параметричній формі

x=Rcost, y=Rsint, (1.23)

де t — кут між Ох та радіусом-вектором точки.

Якщо центр кола має координати (а, b) то рівнянням кола є (рис. 1.6):

(х - а)² + (у - b)² = R² (1.24)

та

х = а + Rсоst, у = b + Rsint . (1.25)

Орієнтація кола . Перейдемо від форми задання (1.22) чи (1.24) до неявної фор­ми задання:

x² +y² -R² =0, (1.26)

(x-a)² +(y-b)² -R² =0. (1.27)

Якщо координати точок, які лежать усе­редині кола, підставити в рівняння (1.26) або (1.27), то матимемо зміну знака ''=" на "<".

Можна вважати, що коло (1.26) або (1.27) має такий напрям, що точки, коор­динати яких змінюють знак "=" на знак "<" у рівнянні (1.26) чи (1.27), розміщені, на­приклад, зліва від напряму кола, тим самим визначити його орієнтацію. Щоб змінити напрям кола на протилежний, треба помно­жити рівняння на -1. Тоді матимемо

-x² -y² +R² =0, або –(x-a)² -(y-b)² +R² = 0.

Поділ кола на рівні частини . Щоб поді­лити коло на n рівних частин, треба ввести параметр s:

(1.28)

Кутониіі параметр точок поділу

t_i =2ps_i (1.29)

Змінюючи i від 1 до n + 1 обчислюємо спо­чатку s_i за формулою (1.28), а потім t_i , за формулою (1.29). Підставивши t_i , у рівнян­ня (1.23) або (1.25), знайдемо координа­ти x_i , y_i точок поділу.

Перша точка поділу (і = 1, s_i = 0, t_i = 0) збігається з останньою (i=n+ 1, s_i = 1, t_i = 2p). Цей збіг, як і кінцеве значення i=n+ 1 зроблено навмисно: при кресленні кола чи багатокутника графопобудовником креслярський пристрій міститься у почат­ковій точці двічі — на початку та напри­кінці креслення.

Наведений алгоритм застосовують у програмах креслення правильних багато­кутників і кіл. У другому випадку n виби­рають значно більшим, щоб візуально ба­гатокутник не відрізнявся від кола.

Дуга (відрізок) кола . Параметрами, що визначають будь-яку дугу кола є: х_с , у_с - координати центра; R—радіус; t_п —куто­вий параметр початкової точки дуги; t_д —

Рис.1.9