Реферат: Кривые второго порядка

Построим уравнение параболы.

Пусть ось О x проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда , а уравнение директрисы .

Число p – называется фокальным параметром параболы.

Пусть – произвольная точка параболы. Пусть – фокальный радиус точки M . d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда

По определению параболы. Следовательно

Возведем это уравнение в квадрат

(20)

– каноническое уравнение параболы , симметричной относительно оси О x и проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы.

Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу .

Так как для параболы , а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением

х ² = 2q y (21)

Фокус этой параболы находится в точке . Уравнение ее директрисы . Фокальный радиус ее точки М (х , у ) выражается формулой .

Если q > 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох .

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1

Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением

х ² + у ² – 4х + 6у – 3 = 0.

Решение.

Выделим полные квадраты в данном уравнении:

х ² + у ² – 4х + 6у – 3 = (х ² – 4х + 4) – 4 + (у ² + 6у + 9) – 9 – 3 = 0

Þ (х – 2)² + (у + 3)² = 16.

Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.

ПРИМЕР 2

Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох , проходит через точку М (–4; ) и имеет эксцентриситет . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М .