Реферат: Кривые второго порядка
СОДЕРЖАНИЕ
1 Окружность. Эллипс
2Гипербола
3Парабола
4 Литература
1 Окружность. Эллипс
При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х и у входят в них
в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у , или обе переменные х и у , входят во второй степени, или же входит произведениех· у (степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: 
– урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R ;
– уравнение гиперболы, 
– уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть 
– центр
окружности. R – радиус окружности. Пусть 
– произвольная точка окружности. Следовательно,
= = 
(1)
(1) – уравнение окружности радиуса R cцентром в точке с координатами 
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а , а > 0,большая , чем расстояние между фокусами 2с , с > 0.
Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х , причем 
т. е. 
– межфокусное расстояние эллипса.
Пусть – произвольная точка эллипса. Величины 
называются фокальными радиусами точки М эллипса.
По определению эллипса: r 1 + r 2 = 2a , а > c . Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:
(2)
Умножим (2) на 
(3)
Сложим уравнения (2) и (3):
(4)
Возведем (4) в квадрат:
Пусть 
(5)
(5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение
– каноническое уравнение эллипса с центром в точке 
Числа а и 
называются соответственно большой и малой полуосями эллипса . Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси Оу , если а = , то эллипс превращается в окружность.
Точки 
, 
называются вершинами эллипса . Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: 
Так как 
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--