Реферат: Лекции по Линейной алгебре

Доказательство Применим к равенству закон сокращения.

  • Признак обратного элемента: Доказательство Применим закон сокращения к равенству .

  • Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно. Следует из п.3.

  • Существование обратной операции. Для любых двух элементов произвольной группы G уравнение имеет и притом единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что (левое частное элементов ) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству . Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного.

  • Изоморфизм групп.

    Определение.

    Отображение двух групп G и K называется изоморфизмом , если

    1.Отображение j взаимно однозначно. 2.Отображение j сохраняет операцию: .

    Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.

    Примеры.

    1.Группы поворотов плоскости и вокруг точек и изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

    2.Группа диэдра и соответствующая пространственная группа изоморфны.

    1. Группа тетраэдра T изоморфна группе состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.

    2. Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством положительных чисел. При этом . Это означает, что является изоморфизмом.

    Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

    1. Понятие подгруппы.

    Непустое подмножество называется подгруппой, если само является группой. Более подробно это означает, что , и .

    Признак подгруппы.

    Непустое подмножество будет подгруппой тогда и только тогда, когда .

    Доказательство.

    В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь - любой элемент. Возьмем в признаке подгруппы. Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим .

    Примеры подгрупп.

    1. Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.

    2. - подгруппа четных подстановок.

    3. и т.д.

    4. Пусть G - любая группа и - любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .

    5. Пусть любая подгруппа Рассмотрим множество - централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если , то , то есть . Теперь ясно, что если , то и и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то . Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).

    Замечание об аддитивной форме записи группы.

    Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.


  • К-во Просмотров: 331
    Бесплатно скачать Реферат: Лекции по Линейной алгебре