Реферат: Лекции по Линейной алгебре
Абстрактная теория групп
- Понятие абстрактной группы.
1.Понятие алгебраической операции.
Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (*), если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент
называемый их произведением.
Примеры.
-
Композиция перемещений на множествах
является алгебраической операцией.
-
Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве
всех подстановок степени n.
-
Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах
соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное
не определено при
. Однако на множествах
,
это будет алгебраическая операция.
-
Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве
.
-
Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве
.
-
Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.
2.Свойства алгебраических операций.
-
Операция (*) называется ассоциативной, если
.
Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если ,
. В частности можно определить степени с натуральным показателем:
. При этом имеют место обычные законы:
,
.
2. Операция (*) называется коммутативной, если
В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции
-
Элемент
называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если
. В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если
- нейтральные элементы, то
. Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем:
.
-
Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент
называется обратным для элемента
, если
. Отметим, что по определению
. Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем:
. Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент
также обратим и
. (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).
Определение (абстрактной) группы.
Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если
-
Операция (*) ассоциативна на G.
-
Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).
-
Каждый элемент из G обратим.
Примеры групп.
-
Любая группа преобразований.
-
(Z, +), (R, +), (C, +).
-
-
Матричные группы:
- невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.
-
Простейшие свойства групп.
-
В любой группе выполняется закон сокращения:
(левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на
и воспользуемся свойством ассоциативности:
.
-
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--