Реферат: Лекции по Линейной алгебре

Сюръективность отображения имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.

Замечание об инъективности отображения q.

В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что или (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество называется централизатором подгруппы . Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что . Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q является изоморфизмом.

7. Смежные классы; классы сопряженных элементов.

Пусть, как и выше, некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам .Заметим, что стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов , что hg=g. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного .

Орбиты группы называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно , где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.

Пример.

Пусть - группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Пусть . Легко проверить, что левые смежные классы суть:

, , .

Правые смежные классы:

, , .

Все эти классы состоят из 2 элементов.

Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:

, , , .

В то же время,

, , .

Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.

Доказательство.

По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: . Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, , откуда и вытекает теорема.

Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы .

Следствие.

Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если эти подгруппы, то их общая подгруппа и по теореме Лагранжа - общий делитель порядков H и K то есть 1.

8. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Определение.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: .

Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

Примеры.