Реферат: Линейная Алгебра. Теория групп

Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:

. (5)

Доказательство.

Условие (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв в (5) y=x, получим: , то есть выполнено второе условие. Теперь возьмем , тогда получим: и таким образом условие 3. также выполнено. Наконец, взяв в условии (5) , получим , то есть условие 1.

Лекция№10

Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочлены.

Свойство мультипликативной группы поля.

Конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична.

Доказательство.

Проведем доказательство от противного. Пусть - конечная подгруппа. Предположим, что G не является циклической группой. Рассмотрим первое каноническое разложение: , где n>1 и n | m. Тогда G , а значит и содержит подгруппу H . Для каждого (а всего в H элементов ) имеем: . Поэтому уравнение в поле k имеет не менее корней, что невозможно, так как степень этого уравнения равна n .

Следствие.

Мультипликативная группа конечного поля циклична.

Заметим, что этот результат нетривиален даже для простейших конечных полей GF(p). Образующие элементы группы называются первообразными корнями по модулю p. В следующей таблице приведены наименьшие первообразные корни по некоторым модулям: