Реферат: Линейная Алгебра. Теория групп
Можно также указать способ вычисления числа . Обозначим через
,
набор всех неприводимых унитарных многочленов степени n над полем GF(q), а через
,
набор всех вообще унитарных многочленов степени n над тем же полем. Рассмотрим следующее выражение:
(Здесь и далее автор использует сокращенные обозначения. Настоятельно советуем читателю для большей наглядности использовать развернутую запись.) F =. Здесь количество слагаемых в каждой скобке и
количество самих скобок выбрано таким образом, чтобы степень каждого многочлена, входящего в F была не выше n. Если раскрыть все скобки то получится сумма всевозможных выражений вида: , где m - степень выписанного многочлена и все
. Соберем вместе в сумму
все слагаемые с данным значением m. Полученная сумма при m
n представляет собой в точности сумму всех вообще унитарных многочленов степени m поскольку каждый такой многочлен однозначно представим в виде произведения неприводимых :
. Таким образом, F =
+..., где точки отвечают слагаемым, в которых многочлены имеют степень выше n. Положим теперь
для всех i и m. Тогда и все
, так что получаем: F=
=
.
Применяя формулы для суммы геометрической прогрессии, находим:
F = = 1/(1-tq). Логарифмируя, затем дифференцируя это равенство и умножая результат на t, получаем:
=
. Коэффициент при
в правой части равен
. Соответствующий коэффициент в левой части равен сумме слагаемых вида m
, причем встречаются только те слагаемые, для которых N кратно m. Итак, имеем:
. Отсюда непосредственно находим:
,
,
,
и так далее.
Следствие. Над конечным полем существуют неприводимые многочлены любой степени.
В самом деле, поскольку по определению , из доказанной формулы следует, что
. Снова из той же формулы получаем:
=
.
Замечание.
Из приведенных рассуждений вытекает, что при
эквивалентно
. Таким образом, примерно 1/N часть всех многочленов степени N над полем из q элементов неприводима.
Лекция№11
Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса.
Пусть k - произвольное поле, его единица. Рассмотрим отображение
, действующее по формуле t(n) = ne. Это отображение является гомоморфизмом колец. Пусть I
Z его ядро. Возможны два случая:
-
I ={0}. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна 0. Поскольку тогда при n
0 элементы ne обратимы, t можно продолжить до инъективного отображения T: Q
k, положив: T(n/m) = ne*
. Значит k содержит подполе Im T
.
-
I
{0}. Тогда I = pZ и k содержит Im T
в качестве подкольца. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна p. Заметим, что число p обязательно простое, так как в противном случае Z/pZ содержит делители нуля.
Итак, если char(k) =0, то k содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q, а если char(k) =p, то k содержит подполе, изоморфное конечному полю GF(p).
Примеры.
-
Поля Q, R, C - очевидно имеют характеристику 0.