Реферат: Математическое моделирование

Коэффицие нт b в уравнениирегрессии характеризует изменение функции у при изменении аргумента х на единицу. и графически отражает угол наклона линии уравнения регрессии

При решении практических задач регрессионного анализа возникает вопрос об оценке тесноты исследуемой взаимосвязи, т. е. насколько полученные на основе обработки производственных или лабораторных данных уравнения регрессии достоверны. В случае парной линейной корреляции в качестве оценки тесноты связи используют обычно коэффициент корреляции , который рассчитывается по формуле:

r = ( XY -X * Y ) / ( s _{x *} s _y ). ( 7 )

Числитель выражения для коэффициента корреляции r представляет собой разность между средним значением произведения XY и произведением сре дних значений X * Y измеренных значений параметров x и y исходной информации. Знаменатель равен произведению средних квадратических отклон ений значений параметров у и х от своих средних. Средние квадратические отклонения (стандартные отклонения ) рассчитываются по формулам:

s _x = { [ S ( x _j -X ) ² ] / m } ^1/2 ( 8 )

s _y = { [ S ( y _j -Y ) ² ] / m } ^1/2 .( 9 )

Квадраты средних квадратических отклоненийy и х (s _x ² иs _y ² ) называются дисперсиями

D _x = [ S ( x _j -X ) ² ] / m ( 10 )

D_y = [ S ( y _j -Y ) ² ] / m ( 11 )

и являются важными статистическими оценками рассеяния значений какой-либо величины около ее среднего значения.

Величина коэффициента корреляцииr может изменяться от 0 при полном отсутствии связи до ± 1 при наличии линейной функциональной связи х с у. Если r > 0, между х и у имеет место положительная корреляционная связь, т. е. с ростом параметра х увеличивается параметр у , если r < 0, между х и у имеет место отрицательная связь. С коэффициентом регрессии b в уравнении (2) коэффициент корреляции связан соотношением

r = b s _x / s _y . (12)

Угловой коэффициент ре грессииb представляет собой тангенс угла наклона линии регрессии к оси абсцисс. Следовательно, чем больше наклон линии регрессии к оси абсцисс, тем больше значение коэффициента корреляции, т. е. тем значительнее будет изменение функции у при изменении на единицу аргумента х .

Малая величина коэффициента корреляции указывает на отсутствие линейной связи, однако криволинейная связь между рассматриваемыми параметрами при этом может быть достаточно тесной. Коэффициент корреляции отражает не только величину приращения у при изменении х , но и тесноту связи функции и аргумента. Чем больше разброс точе к относительно линии регрессии, тем меньше коэффициент корреляции. Это свойство коэффициента корре ляции отражено в его формуле в виде соотношения стандартных отклонений.

Для оцен ки надежности полученного результата используют иногда критерий надежности m , который учи тывает как величи ну коэффициента корреляции, так и число пар измерений. Кри терий надежности m рассчитывается по формуле

m = r * [ m - 1] ^1/2 / (1 -r ² ), (13)

где r — коэффициент корре ляции;

т — число пар измерений.

Как видно из формулы критерия надежности, чем выше коэффициент корреляции и большее число пар измерений, тем больше показатель надежности. При m , > 2,6 связь считается статисти чески достоверной.

Располагая данными можно выполнить анализ взаимосвязи аргумента и функции : построить график с корреляционным полем рассматриваемых показателей, определить теоретическую линию регрессии, оценить тесноту связи для выбранных параметров. Однако, проанализировав конфигурацию корреляционного поля, построенного по исходным данным, можно усмотреть что описание взаимосвязи рассматриваемых параметров с помощью прямой линии не является наилучшей аппроксимацией. Иногда в данное поле корреляции значительно лучше впишется некоторая кривая.

Таким образом из технологического опыта может следовать, что связь между аргументом и функцией имеет криволинейный характер. Возможно, что аппроксимация производственных данных в виде кривой точнее отражала бы существующую взаимосвязь.

КРИВОЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Аппроксимация кривой выполняется тем же путем с использованием метода наименьших квадратов, что и выравнивание по прямой линии. Линия регрессии должна удовлетворять условию минимума суммы квадратов расстояни й до каждой точки корреляцион ного поля. В данном случае в уравнении (1)у представляет собой расчетное значение функции, определенное при помощи уравнения в ыбранной криволинейной связи по фактическим значениям х _j . Например, если для аппроксимации связи выбрана парабола второго порядка, то

y = а + b x + c x² , ( 14 )

.а разность между точкой, лежащей на кривой, и данной точкой корреляционного поля при соответствующем аргументе можно записать аналогично уравнению (3) в виде

Dy_j = y_j -(a + b x +c x² ) ( 15 )

При этом сумма квадратов расстояний от каждой точки корреляционного поля до новой линии регрессии в случае параболы второго порядка будет иметь вид:

S ² = S Dy_j ² = S [ y_j -(a + b x +c x² )] ² ( 16 )

Исходя из условия минимума этой суммы, частные производные S ² по а , b и с приравниваются к нулю. Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными для определенияa, b и с .

, S y = m a + b S x + c S x ²

S yx = a S x + b S x ² + c S x ² .

S yx ² = a S x ² + b S x ³ + c S x ⁴ . ( 17 )^.

Решая систему уравнений относительно a, b ис , находим численные значения коэффициентов регрессии. ВеличиныS y ,S x, S x ² ,S yx ,S yx ² , S x ³ , S x ^4. находятся непосредственно по данным прои зводственных измерений.

Оценкой тесноты связи при криволинейной зависимости служит теоретическое корреляционное отношение h _xу , представляющее собой корень квадратный из соотношения двух дисперсий: среднего квадрата s_р ² отклонений расчетных значений y' _j функции по найденному уравнению регрессии от среднеарифметического значения Y величины y к среднему квадрату отклонений s_y ² фактических значений функции y _j от ее среднеарифметического значения :

h_xу = { s_р ² / s_y ² } ^1/2 = { S (y' _j - Y )² / S (y _j - Y )² } ^1/2 ( 18 )