Реферат: Математическое моделирование
i - порядковый номер анализируемого аргумента.
Так же как и в случае трехмерной задачи, угловой коэффициент регрессииb i сохраняет то же численное значение, что и в уравнении множественной линейной регрессии . Свободный член частного уравнения регрессии рассчитывается по формуле
n
a' i = а +S b i X i -b e X e ( 28 )
i = 1
гдеа — свободный член множественного линейного уравнения регрессии;
n — количество -аргументов;
X i — средние значения аргументов;
X e —среднее значение одного из -аргументов.
Оценкой тесноты связи при множественной линейной регрессии служит коэффициент множественной корреляции R, определяемый по формуле:
R = { b 1 [ sx 1 / sy ] r yx 1 + ... + b n [ sx n / sy ] r yx n } 1/2 ( 29 )
Величина коэффициента мно жественной корреляции всегда положительна и может меняться от 0 (при отсутствии связи) до 1 (при функциональной связи). С помощью коэффициента множественной корреляции оценивают совместное влияние на зависимую переменную всех включенных в расчет аргументов. Квадрат величины коэффициента множественной корреляции показывает долю изменчивости зависимой переменной, обусловленн ую изменением всех рассматриваемых аргументов, и называется коэффициентом множественной детерминации .
Для оценки тесноты частной взаимосвязи функции и каждого а ргумента служит коэффициент частной корреляции . Этот статистич ески й показатель учитывает тесноту взаимосвязи функции и одног о из показателей-аргументов при условии, что остальные аргументы з акреплены на уровне своих средних значений и не влияют на функц ию. Коэффициент частной корреляции обозначается индексом r y x i , гдеi — порядковый номер оцениваемого аргумента) и рассчитыв ается по формуле
{ 1 -R 2 n } } 1/2
r yx i = { 1 - ----------------} ( 30 )
{ 1 -R 2 n - 1 }
где R 2 n — квадрат коэффициента множественной корреляции для п аргументов;
R 2 n - 1 —- квадрат коэффициен та множественнойкор реляци и для n— 1 аргументов безi- того^. Ка к видно из формулы ( 30 ), коэффициент частной корреляции позволяет выделить уменьшение изменчивости фактических значений функции вокруг расчетных, связанное с введением в расчет уравнения множестве нной регрессии i -того аргумента. Коэффици ент r yx i прини мает значения от 0 ( при отсутствии связи) до 1 (п ри наличии функциональной св язи). Из формулы (30 )н евозможно опре делить знак коэффициента частной корреляции, поэтому его определяют по знаку углового коэффициента регрессииb i для данного аргумента. Значение коэффициента частной корреляции может отличаться от коэффициента парной корреляции не только по величине, но и по знаку для одной и той же задачи. При этом нужно помнить, что коэффициент частной корреляции является более объ ективной оценкой действительной взаимосвязи.
Оценка тесноты и ндивидуальной связи функции и аргумента при множественной регресси и с помощью коэффициента частной корреляции является более достоверной. Это соображение подтверждается уменьшением рассеяния точек относи тельно ли нии частной регрессии по сравнению с линией парной регрессии. Следовательно, даже при уменьшении коэффициента частной корреляции по сравнению с парным при частной регрессии наблюдается более тесная связь ме жду функцией и аргументом.
Для расчета по формуле (30) необходимо рассчитать коэффициенты регрессии с помощью систем уравнений отдельно для п и п — 1 аргументов. При этом значения коэффициентов будут различными.
Итак, в результате решения уравнения множественной регрессии , можно найти численные значения коэффициентов а , b 1 , b 2 ,b 3 , ..., b п . , определить показатели тесноты связи, а и менно коэффициент множественнойкорреляцииR , коэффициент детерминации , коэффициенты частной корреляции r' ух i .
Несмотря на то что уравнения частной линейной регрессии характеризуют реальную взаимосвязь функции иi -того аргумента с большей достоверностью, чем уравнения парной регрессии, они во многих случаях не удовлетворяют исследователей. Недостаток уравнений частной линейной регрессии заключается в том, что анализируемая зависимость представляется в виде прямой. В действительности, большинство взаимосвязей параметров металлургических процессов име ет криволинейный характер. Любое техническое мероприятие тем эффективней, чем хуже абсолютные исходные показатели.
Для повышения достоверности взаимосвязей параметров технологического процесса необходимо определить уравнения частной криволинейной регрессии. Рассмотрим несколько способов такого определения.
ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
Для упрощения рассмотрим задачу, в которой фигурируют два аргумента ( x 1 и x 2 ) и функция у . Рассчитаем уравнением ножественной линейной регресси и, т. е. определим численные значения коэффициентов а , b 1 и b 2
Найдем уравнения частной криволинейной регрессии. Например, чтобы получить уравнение частной регрессии у поx 2 , нужно исключить влияние на у аргументаx 1 . Для этого можно использовать следующий прием: каждое значение функции у в таблице исходной информации нужно скорректировать на величину отклонения первого аргумента от своего среднего, пользуясь для этого найденным угловым коэффициентом регрессииb i. Тогда каждое скорректированное значение функцииу' будет равно:
y' j = y j - (x 1j -X j )b 1 , ( 31 )
где y j — значение функции в таблице исходной информаци и
x 1j —значение первого аргумента в таблице исходной информации;
X j - среднее значение первого аргумента