Реферат: Материальные уравнения Максвелла для биологических объектов

Две последние величины в данном уравнении неизвестны. Они находятся по результатам измерений коэффициента отражения в двух калибровочных средах с известными диэлектрическими параметрами посредством итерационной процедуры подробно описанной в [3].

В более строгих электродинамических моделях вывод выражения для адмитанса зонда основан на записи выражений для поля в коаксиальной линии и в зондируемой среде и согласования магнитных компонент на плоскости апертуры с учётом граничных условий, требующих непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного поля на границе раздела. Наиболее широко используется модель, учитывающая наличие в коаксиальной линии только основной распространяющейся ТЕМ моды. В рамках этой модели в работах [5-8] были получены три эквивалентных выражения для нормированного адмитанса открытого конца коаксиальной линии с бесконечным фланцем:

Y= (1.1)

Y = G + jB

G =, (1.2)

B = .

Y = (1.3)

Где a и b - внутренний и внешний радиусы коаксиальной линии, k ₀ , k_c , k_m - волновые числа в вакууме, коаксиальной линии и зондируемой среды соответственно.

Первое из этих выражений требует вычисления тройного интеграла с особенностью в точке ρ=ρ' при φ=0 и поэтому редко используется на практике. Интегралы в (1.2) обычно вычисляются разложением в ряд по степеням [5,8]. Наиболее удобным для быстрого решения как прямой, так и обратной задачи – вычисление ε _m по известному значению Y ( ω ) - является выражение (1.3). На основе этого выражения получены результаты, представленные в [9-11].

Однако погрешность данных, полученных с помощью этой модели, возрастает с увеличением частоты и диэлектрической проницаемости исследуемой среды.

Наиболее строгими являются так называемые полуволновые электродинамические модели, учитывающие не только наличие в коаксиальной линии ТЕМ волны отражённой от её открытого конца, но и возбуждение на апертуре мод высших порядков. Поскольку в поле падающей ТЕМ волны, и коаксиальная линия аксиально-симметричны, то возбуждаются только моды ТМ_{0 n} При выводе данных моделей основная идея заключается в получении бесконечной системы линейных уравнений для коэффициентов отражения R_n основной ТЕМ ( n =0) и высших ТМ_{0 n} ( n =1,2…) мод. В физически обоснованном приближении учёта лишь конечного числа N возбуждаемых высших мод эта система сводится к конечной системе N+1 уравнений, решение которой осуществляется численными методами.

Основным недостатком полволновых моделей является необходимость громоздких вычислений, особенно при решении итерационными методами обратной задачи – нахождении диэлектрической проницаемости среды по известному значению коэффициента отражения основной моды R₀ .

Широкое практическое применение получила также интерполяционная модель, в которой для ускорения расчётов адмитанс открытого конца коаксиальной линии представляется в виде рациональной функции

Y= (1.4)

Коэффициенты α _np , β _kq подбираются по методу наименьших квадратов с помощью численного полволнового решения задачи для большого набора различных проводимостей зонда в различных средах. В работах [12,13] представлены их значения для 50-омного коаксиального кабеля с тефлоновым заполнением. Эти значения получены при N = K =4 и P = Q =8 на основе анализа, выполненного для 20 нормализованных частот в диапазоне 0,01<k ₀ a <0,19 и 56 диэлектрических констант в диапазоне 1<ε _m ' <80.

Модель удобна тем, что позволяет получить простое решение обратной задачи. Формулу (1.4) можно переписать в виде

Где

b_p = p=1,2,…,8;

b₀ =0;

c_q = q=1,2,…,8;

c₀ =1+

Из восьми комплексных корней этого уравнения вида ε' + jε'' отбирается только один, имеющий физический смысл (1≤ ε'≤80, -80≤ ε''≤0). Отметим, что данная модель учитывает и эффекты излучения, и возбуждение высших мод на апертуре.

Дополнительные усложнения возникают при зондировании слоёв конечной толщины [9]. Такая задача имеет самые разные практические применения: от определения толщины эмульсионных слоёв и упаковочных материалов, содержания арматуры в слое железобетона и др. в промышленности, до диагностики рака кожи. Естественно, в этих случаях требуется модификация моделей адмитанса зонда, которые должны учитывать как толщину исследуемого образца, так и электромагнитные свойства ограничивающей среды.

За основу для такого преобразования, разыми авторами принимаются как модель, учитывающая только основную моду в коаксиальной линии, так и полволновые модели. Рассматриваются не только случаи одиночных диэлектрических слоёв, лежащих на проводящем основании или ограниченных полупространством с известными диэлектрическими свойствами, но и делается обобщение на многослойные структуры.

Представляет интерес работа [14], в которой приводятся результаты экспериментальных измерений в полосе частот 5…7 ГГц коэффициента отражения зонда, излучающего в очень тонкие слои воды, и сравниваются с результатами численных расчётов по предложенной теоретической модели. Авторы считают возможным применение данного метода для микроволновых измерений влажности тонких внешних слоёв человеческой кожи.

В этом же ряду стоит работа [15], в которой на основе полволнового анализа выведена модель для расчётов коэффициента отражения и наличии воздушного зазора между апертурой зонда и образцом. Приведены расчёты зависимостей коэффициента отражения от величины зазора при различных размерах зонда, рабочих частотах и диэлектрических параметрах образца, а также представлен анализ неопределённости результатов.

Поскольку все модели, применяемые для определения диэлектрических характеристик тонких образцов, становятся более сложными, чем в случае полупространства, при их практическом применении встаёт вопрос о критерии допустимых упрощений этих моделей. Для тонких образцов существенное значение имеет учёт высших мод, который может оказаться необходимым даже при зондировании материалов с низкой диэлектрической проницаемостью.

Недостатком существующих методов является то, что при их помощи измеряются интегральные характеристики достаточно больших объёмов тканей, что не позволяет установить локальные изменения функционального их состояния.