Реферат: Matlab

1;n=100; k=1:n; f=k.^(-2); plot(cumsum(f)), [sum(f),pi^2/6] =1000

Команда cumsum(f) подсчитывает все частичные суммы s(k) от f(1:k) для каждого k от 1 до n, так что на графике можно наблюдать процесс формирования нужной нам величины. В конце строки выдается численный и точный результаты:

ans = 1.6350 1.6449 .

Полагая n=1000, получим

ans = 1.6439 1.6449 ,

т.е. ошибку в 1 единицу 4-й значащей цифры.

Сходимость не всегда столь очевидна, как на этом графике. Чтобы в этом убедиться, усложним наш пример: при заданных m>1 и n найдем частичную сумму ряда s(m,n) = sum(1/k^m), k=1:n (при m=1 получается уже расходящийся гармонический ряд). Для проведения вычислений отредактируем строку 1:

2; m =2; n =1000; k =1: n ; f = k .^(- m ); plot ( cumsum ( f )), sum ( f )

=1.5 =1e4

=1.2

и сначала для проверки получим свой старый результат. Но уже при m=1.5 у нас, глядя на график, нет полной уверенности в достижении сходимости. Это тем более так при m=1.2: для n=1000 ans=4.3358, а для n=1e4 ans=4.7991. Факт сходимости ряда при m=1.01 нельзя установить численно из-за низкой скорости его сходимости.

Чтобы лучше запомнить действие команды cumsum, вычислим ò(x/sin(x))dx, xÎ[0, 3]. Подинтегральная функция f=x/sin(x) не имеет в нуле особенности, и поэтому достаточно выполнить строку

3;n=100; h=3/n; x=h/2:h:3-h/2; f=x./sin(x); plot(h*cumsum(f)), grid, sum(h*f) =1000

т.е. аппроксимировать f в серединах интервалов (эти точки x называют полуцелыми в отличие от концов счетных интервалов – целых точек). Сравнение ответа ans = 8.4495 и графика наводит на мысль о том, что пока сходимость еще не достигнута, но при n=1e3 ans = 8.4552, так что при n=1e2 со сходимостью в действительности все в порядке, а возрастание функции h*cumsum(f) на правом конце происходит из-за роста там функции f – это можно увидеть, выполнив

4;plot(f)

Для матрицы A команды sum и cumsum работают вдоль столбцов (значит, по первому индексу), а для вектора – вдоль него независимо от того, строка это или столбец. Чтобы провести суммирование для матрицы A вдоль ее строк, нужно выполнить sum(A,2), т.е. указать для выполнения команды второй индекс. Это правило относится ко многим командам MATLAB'a и к многомерным матрицам тоже – по умолчанию имеется в виду первый индекс, а в противном случае нужно всегда указывать, по какому индексу должна работать команда, и это указание не сохраняется для последующих команд.

2. Произведения. Аналогично суммированию с помощью команд prod и cumprod вычисляются и обрабатываются произведения. Например, найдем Õ(1-1/k^2), k=2:100 (при k®¥Õ®1/2), выполнив строку

1; n =100; k 2=(2: n ).^2; a =1-1./ k 2; cp = cumprod ( a ); cp ( end ), plot ( cp /.5), grid

Результат cp(end) = 0.5050 говорит о том, что сходимость здесь не очень быстрая. Это видно и из графика, на котором представлена относительная ошибка результата. Обратите внимание на названия переменных k2=k^2 и cp=cumprod(..): при выборе имен переменных всегда нужно стремиться к тому, чтобы эти имена хоть как-то отражали суть дела (это особенно важно при написании больших программ, где много переменных).

При вычислении произведений можно выйти за числовую шкалу. Найдем, например, для каких k можно найти k!. Ясно, что максимально допустимое km вряд ли больше 200, так что строка

2;n=200; k=1:n; kf=cumprod(k); plot(kf)

должна дать ответ на наш вопрос. Из-за быстрого возрастания kf и ограниченной разрешимости дисплея (это не более 0.5% от максимального значения на графике) мы видим всего одну точку kf(km), перед которой, как нам ошибочно кажется, идут нули и за которой идут числа inf (infinity), вообще никак не представленные на рисунке. Точно так же графика обходится и с переменной NaN (notanumber), и это обстоятельство может быть иногда полезным. Переменная NaN возникает в таких ситуациях:

0/0 inf - inf inf / inf

Переменные inf и NaN (они получаются со знаком) можно использовать в программах. Для определения km выполним строку

3; sum ( isinf ( kf ))

в которой isinf(kf) выдаст 1 на тех позициях вектора размеров kf, где элементы kf есть inf, и 0 на остальных позициях. Поскольку ans=30, km=n-30=170, что можно было бы получить и сразу, выполнив строку

4; km = sum ( isfinite ( kf ))

где isfinite отмечает те элементы числовой переменной, которые отличны от inf и NaN. При выходе произведения за числовую шкалу для сомножителей можно использовать команды

log (взятие натурального логарифма),