Реферат: Matlab

X = F ( X ) (1)

должно обязательно выполняться для итерационного преобразования F. Это обстоятельство помогает выбирать различные варианты для F. Все решения X этого уравнения называются неподвижными точками преобразования F(x). Все такие x₀ , для которых последовательность x_k сходится, образуют область сходимости итерационного преобразования F. Cкорость сходимости итераций x_k характеризуется поведением числовой последовательности

v_k =norm(x_k+1 -x_k )/norm(x_k -x_k-1 ) ,

где норма может выбираться по-разному. Для сходимости x_k уже не обязательно, чтобы существовал предел V последовательности v_k , но очень часто для сходящихся итераций он существует, и если это так, то пусть a=abs(V). Тогда при a=1 сходимость x_k будет крайне медленной, при 0<a<1 это будет сходимость по геометрической прогрессии со знаменателем q=V, а при a=0 последовательность x_k будет сходиться быстрее любой геометрической прогрессии. Покажем теперь на простейших примерах, как все это выглядит на деле. Чтобы иметь возможность разнообразия вариантов, задачу возьмем нелинейной. Рвссмотрим уравнение

(x-2)(x-3)=0 или f(x) º x² -5x+6=0 c корнями x₁ =2, x₂ =3 , (2)

построим для нахождения его решений x₁ =2, x₂ =3 несколько итерационных преобразований или схем F и проанализируем их работу.

1.Пусть для уравнения (2)

x=F(x), где y=F(x)=(x² +6)/5 .

Обязательное условие (1) для преобразования F выполнено, однако при этом переходе появилось дополнительное решение x=inf (µ). Потеря некоторых или приобретение новых решений часто случается при переходе от исходного уравнения к его итерационной форме. Переходя к нужной нам индексной записи, будем иметь

x ( k +1)= F ( x ( k )), k =1: n ,

где начальное приближение x(1) и число итераций n должны быть заданы. Будем накапливать значения x(k) в переменной x, а текущее значение x(k) обозначим через xt. Нужные вычисления реализует строка

1; xt =0; n =100; x = xt ; TF ='( xt ^2+6)/5'; for k =1: n , xt = eval ( TF ); x =[ x , xt ]; end , plot ( x ), grid

Здесь записаны текстовая переменная TF и команда eval (она интерпретирует TF как выражение xt^2+6)/5 и выполняет его). После выполнения строки 1 на графике отобразится 101 значение x(k), включая начальное приближение. Итерации сошлись к px=2. Строка

2; xt =0; n =100; x = xt ; TF =' xt =( xt ^2+6)/5;'; for k =1: n , eval ( TF ), x =[ x , xt ]; end , plot ( x ), grid

произведет те же вычисления, но обратите внимание на то, как в ней записаны TF и eval.

Хотя внешне сходимость x(k) к x₁ =2 не вызывает сомнений, это в действительности всегда нужно проверять более тщательно. Так как y'=F'(x)=2x/5, то F'(2)=0.8<1, а F'(3)=1.2>1, но итерации, как известно, могут сойтись только к такой неподвижной точке X преобразования F, для которой |F'(X)|£1. Отсюда ясно, почему X=2. Однако далеко не всегда можно найти F'(x) аналитически, и поэтому в общем случае приходится использовать вычислительный подход. При известных уже x(k) его реализует строка

3; w =2: n ; v =( x ( w +1)- x ( w ))./( x ( w )- x ( w -1)); plot ( v ), grid

Из графика видно, что v(k) действительно сходятся к a=0.8, как и должно быть согласно теории, которая здесь выглядит очевидной.

Теперь будем варьировать начальное приближение, выполняя строки 1 и 3.

(a) xt=1.5, 1.9, 1.99, 1.9999. При последних двух значениях xt на графике из строки 3 появятся осцилляции справа, так как здесь разности x(k+1)-x(k) и тем самым значения v(k) теряют точность: x(k) уже сошлись со многими знаками.

(a') xt=2 . График из строки 2 вообще пуст, потому что тогда все v(k)=0/0=NaN.

(b) xt=2.01, 2.5, 2.9, 2.99, 2.9999. В последнем случае x(k) вначале довольно долго (до k=20) задерживаются в районе неподвижной точки x₂ =3 (они все время уходят от нее, но на графике этого не видно), а затем примерно за 60 итераций монотонно движутся к x₁ =2.

(b') xt=3 . Все x(k)=3, а график из строки 3 пуст. Это произошло потому, что при xt=3 F(xt)=15/5=3 получается без ошибок округления.

(b'') xt=3.01 . Пределами для x(k) и v(k) будет inf, так что x₂ =3 является неустойчивой неподвижной точкой преобразования F: при малейшем сдвиге x₀ с x₂ в пределе итераций получится либо устойчивая неподвижная точка x₁ , либо inf – приобретенная неподвижная точка. Проварьируем этот сдвиг:

(с) xt=3+1e-15, 3+1e-14, 3+1e-8 . В 1-м варианте ухода xt не происходит, во 2-м тенденция ухода уже зародилась и он неизбежно произойдет с увеличением числа итераций, в 3-м уход проявился в полной мере уже на 100 итерациях.

(с') xt=-2.5, -2.9, -2.99, -3, -3.01, -100, 100 . При xt=-3 снова получим x₂ за одну итерацию, а при xt= -3.01 и далее получим inf. Таким образом, при вещественном x₀ итерации сходятся к устойчивой неподвижной точке x₁ =2 при -3<x₀ <3 и к inf при |x₀ |>3. Просчитаем тот случай, когда |x₀ |=3. Этот расчет выполняется строкой (редактируем строку 1)

4;n=100; fi=-pi:pi/20:pi; xt=3*exp(i*fi); TF='(xt.^2+6)/5'; for k=1:n,xt=eval(TF);end, plot(xt,'.')

На графике (он комплекснозначный) видны 4 точки: точка z=3, точки z=3±s*i с малым s>0 и точка z=2. Чтобы разобраться в результате, выполним строку 4 с n=1000 и, сделав окно MATLAB'а полным, выдадим

5; imag ( xt ')