Реферат: Matlab

Тогда

q = 1 3 8, r = 0 0 0 26.

Другими словами, частное q(x)=x² +3x+8, а остаток r=26.

3. Разложим функцию (x-3)/p(x) на элементарные дроби:

1;[r,s,k]=residue([1,-3],p); r', s', k'

Для r' получим вектор из трех компонент r₁ , r₂ , r₃ :

-0.7607 0.3803 - 0.4289i 0.3803 + 0.4289i,

для s' - также вектор из трех компонент s₁ , s₂ , s₃ :

-1.5214 0.7607 - 0.8579i 0.7607 + 0.8579i

и k=[] (это означает, что целой части в разложении нет – действительно, у числителя первая, а у знааменателя третья степени). Компоненты векторов r и s означают, что

(x-3)/p(x)=sum(r_i /(x-s_i ), i=1:3.

Команда residue работает и в обратную сторону:

2;[q,p]=residue(r,s,k)

восстановит исходные числитель и знаменатель:

q = 0 1 -3 (он получился точно),

p = 1.0000 -0.0000 -1.0000 2.0000 (здесь уже сказались ошибки округления и старший коэффициент не равен 1 автоматически).

4. В заключение приведем сложный пример (Уилкинсон, 1963), показывающий, что иногда, несмотря на хорошую разделенность корней полинома, их вычисленные значения могут очень сильно зависеть от значений некоторых коэффициентов просто потому, что производные корней по этим коэффициентам – очень большие по модулю числа. Такие задачи называются плохо обусловленными и всегда требуют повышенного внимания независимо от того, каким методом они решаются. В то же время они в наибольшей степени стимулируют теоретические исследования по оценке точности машинных вычислений, и пример Уилкинсона – одна из первых классических задач такого рода.

Перейдем теперь к описанию примера. Пусть vn=1:n, где n>1 - целочисленный параметр, и pn=poly(v') - полином с корнями 1:n, которые хорошо отделены друг от друга, а wn=roots(pn) - вектор-столбец с вычисленными корнями полинома pn. Проведем сравнение vn' и wn для различных n. Начнем с n=2:

1;n=2; vn=1:n; pn=poly(vn'); wn=roots(pn); [vn',wn]

и получим ans=1 2 2 1

откуда видно, что элементы в wn нужно упорядочить. Выполняя при n=3 отредактированную строку 1

2;n=3; vn=1:n; pn=poly(vn'); wn=roots(pn); R=[vn',sort(wn)]

найдем R = 1.0000 1.0000

2.0000 2.0000

3.0000 3.0000 .

Появившиеся в первом столбце R цифры 0 как бы "наведены" значениями из второго столбца, и таких мелких шероховатостей у команды format немало. А цифры 0 во втором столбце R говорят о том, что уже появилась погрешность в определении корней. Она, конечно, еще очень мала:

3;(( R (:,2)- R (:,1))./ R (:,1))'

дает относительную ошибку для корней

ans = 1e-14 *( 0.1110 -0.0444 -0.1184)